درسنامه کامل هندسه دهم فصل 2 قضیۀ تالس، تشابه و کاربردهای آن

نسبت عدد a به عدد \(b \ne 0\)  عبارت است از کسر \(\frac{a}{b}\) .

تساوی بین دو نسبت \(\frac{a}{b}\) و \(\frac{c}{d}\) یک تناسب نامیده می شود: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)

در تناسب \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c}\) ، عدد b میانگین هندسی دو عدد a و c نامیده می شود و مقدار آن از رابطه ی \({b^2} = ac\)  به دست می آید.

1) در تناسب \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)  با عمل طرفین-وسطین تساوی \(ad = bc\)  را خواهیم داشت.

2) در تناسب \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)  می توان کسر ها را معکوس کرد و تناسب \(\frac{b}{a} = \frac{d}{c}\)  را به دست آورد.

3) در تناسب \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)  می توان جای دو جمله ی میانی را عوض کرد و تناسب \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\)  را به دست آورد.

4) در تناسب \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)  می توان در ترکیب صورت تناسب \(\frac{{a + b}}{b} = \frac{{c + d}}{d}\)  و در ترکیب مخرج تناسب \(\frac{a}{{b + a}} = \frac{c}{{d + c}}\)  می توان بدست آورد.

5) در تناسب \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)  می توان در تفضیل صورت تناسب \(\frac{{a - b}}{b} = \frac{{c - d}}{d}\)  و در ترکیب مخرج تناسب \(\frac{a}{{b - a}} = \frac{c}{{d - c}}\)  می توان بدست آورد.

6) \(\begin{array}{l}\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\\\frac{c}{d} = \frac{e}{f}\\ \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}\end{array}\)

7) \(\begin{array}{l}\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k\\ \Rightarrow \frac{{a + c}}{{b + d}} = k{\rm{ }},{\rm{ }}\frac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = k\end{array}\)

در مثلث ABC شکل مقابل، اگر پاره خط DE موازی BC رسم شود، آنگاه پاره خط های ایجاد شده روی AB و AC با یکدیگر متناسب اند:

فرض: \(DE\parallel BC\)

حکم: \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}\)  جزء به جزء

اثبات

مرحله اول: از E به B وصل می کنیم:

\(1)\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{BDE}}}} = \frac{{\frac{1}{2}EH \times AD}}{{\frac{1}{2}EH \times DB}} = \frac{{AD}}{{DB}}\)

مرحله دوم: از D به C وصل می کنیم:

\(2)\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{CDE}}}} = \frac{{\frac{1}{2}DH' \times AE}}{{\frac{1}{2}DH' \times EC}} = \frac{{AE}}{{EC}}\)

مرحله سوم: حال باید نشان دهیم \({S_{BDE}} = {S_{CDE}}\)

\(\begin{array}{l}3){S_{BDE}} = \frac{1}{2}DE \times BM\\\\ \Rightarrow {S_{CDE}} = \frac{1}{2}DE \times CN \Rightarrow BM = CN \Rightarrow {S_{BDE}} = {S_{CDE}}\end{array}\)

در نتیجه:

\(\begin{array}{l}1,2,3 \Rightarrow \frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{BDE}}}} = \frac{{AD}}{{DB}}\\\\ \Rightarrow \frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{CDE}}}} = \frac{{AE}}{{EC}} \Rightarrow \frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AE}}{{EC}}\end{array}\)

تعمیم قضیه تالس

\(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{BC}}\)

برهان: مطابق شکل زیر، از نقطه E، پاره خط EF را موزی AB رسم می کنیم:

\(\begin{array}{l}DE\parallel BF\\\\DB\parallel EF\\\\ \Rightarrow DEFB \Rightarrow DE = BF\\\\EF\parallel AB \Rightarrow \frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{AC}}\end{array}\)

عکس قضیه تالس

در مثلث ABC، اگر نقاط M و N روی اضلاع AB و AC طوری انتخاب شوند که تناسب \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\)  برقرار باشد، آنگاه \(MN\parallel BC\)  است.

اثبات با برهان خلف

فرض می کنیم MN موازی BC نیست، پس پاره خطی مانند \(MN'\)  موازی BC وجود دارد:

\(MN'\parallel BC \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN'}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow AN' = AN\)

که این غیر ممکن است؛ پس فرض خلف (نقیض حکم) نادرست بوده و درستی حکم یعنی موازی بودن MN با BC ثابت می شود.

دو چند ضلعی را متشابه گوییم هرگاه زوایای نظیرشان باهم برابر بوده و اضلاع نظیرشان باهم متناسب باشند.

هر گاه زوایای دو مثلث نظیر به نظیر با هم برابر و اضلاع نظیر، متناسب باشند، دو مثلث متشابه اند.

\(\begin{array}{l}\hat A = \hat A'\\\hat B = \hat B'\\\hat C = \hat C'\\\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = k \Leftrightarrow A\mathop B\limits^\Delta C \sim A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\end{array}\)

K را نسبت تشابه دو مثلث می نامیم.

اگر خط راستی موازی یکی از اضلاع مثلثی، دو ضلع دیگر را در دو نقطه قطع کند، مثلثی با آنها تشکیل می دهد که با مثلث اصلی متشابه است.

\(\begin{array}{l}MN\parallel BC \Rightarrow A\mathop M\limits^\Delta N \sim A\mathop B\limits^\Delta C\\\\MN\parallel BC \Rightarrow \\\\1)\hat M = \hat B\\\\2)\hat N = \hat C\\\\3)MN\parallel BC \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}\\\\1,2,3 \Rightarrow A\mathop M\limits^\Delta N \sim A\mathop B\limits^\Delta C\end{array}\)

حال با توجه به قضیه ی اساسی تشابه مثلث ها، سه حالت مختلف تشابه مثلث ها را بیان می کنیم. راهبرد اصلی ما برای اثبات این سه قضیه این ایست که روی ضلع های AB و AC، پاره خط های MN و AN را به ترتیب به اندازه ی \(A'B'\) و \(A'C'\)  جدا کرده و ثابت می کنیم که MN موازی BC است.

1) هر گاه دو زاویه از مثلثی با دو زاویه از مثلث دیگر برابر باشند، دو مثلث متشابه اند.

\(\begin{array}{l}\hat B = \hat B'\\\\\hat C = \hat C'\\\\ \to A\mathop B\limits^\Delta C \sim A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\end{array}\)

اثبات

روی ضلع های AB و AC، پاره خط های MN و AN را به ترتیب به اندازه ی \(A'B'\) و \(A'C'\)  جدا می کنیم:

\(\begin{array}{l}1)\hat A + \hat B + \hat C = 180\\\\\hat A + \hat B + \hat C = 180\\\\ \Rightarrow B = B'{\rm{\ ,\ }}C = C' \to \hat A = \hat A'\\\\2)AM = A'B'\\\\\hat A = \hat A'\\\\AN = A'C'\\\\ \Rightarrow A\mathop M\limits^\Delta N \cong A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\\\\3)A\mathop M\limits^\Delta N \cong A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\\\\\hat M = \hat B'\\\\\hat N = \hat C'\\\\MN = B'C'.\\\\\hat B = \hat B'\\\\\hat M = \hat B' \Rightarrow MN\parallel BC\\\\A\mathop M\limits^\Delta N \sim A\mathop B\limits^\Delta C \Rightarrow A'\mathop {B'}\limits^\Delta C' \sim A\mathop B\limits^\Delta C\end{array}\)

2) هر گاه دو ضلع از مثلثی با دو ضلع از مثلث دیگر متناسب و زاویه ی بین این دو ضلع در دو مثلث برابر باشد، دو مثلث متشابه اند.

\(\begin{array}{l}\hat A = \hat A'\\\\\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}}\\\\ \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta C \sim A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\end{array}\)

اثبات

روی ضلع های AB و AC، پاره خط های AM و AN را به ترتیب به اندازه ی \(A'B'\) و \(A'C'\)  جدا می کنیم:

\(\begin{array}{l}1)AM = A'B'\\\\\hat A = \hat A'\\\\AN = A'C'\\\\ \to A\mathop M\limits^\Delta N \cong A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\\\\\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow MN\parallel BC\\\\A\mathop M\limits^\Delta N \sim A\mathop B\limits^\Delta C \Rightarrow A'\mathop {B'}\limits^\Delta C' \sim A\mathop B\limits^\Delta C\end{array}\)

3) هر گاه اضلاع دو مثلث نظیر به نظیر متناسب باشند، دو مثلث متشابه اند.

\(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta C \sim A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

اثبات

روی ضلع های AB و AC، پاره خط های AM و AN را به ترتیب به اندازه ی \(A'B'\) و \(A'C'\)  جدا می کنیم:

\(\begin{array}{l}\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow MN\parallel BC\\\\1)A\mathop M\limits^\Delta N \sim A\mathop B\limits^\Delta C\\\\A\mathop B\limits^\Delta C:MN\parallel BC \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}\\\\ \Rightarrow MN = B'C'\\\\ \Rightarrow MN = B'C'{\rm{ }},{\rm{ }}AM = A'B'{\rm{\,}},{\rm{ }}AN = A'C'\\\\2)A\mathop M\limits^\Delta N \cong A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\\\\1{\rm{ \,,\ }}2 \Rightarrow A'\mathop {B'}\limits^\Delta C' \sim A\mathop B\limits^\Delta C\end{array}\)

در هر مثلث، نیم ساز داخلی هر زاویه، ضلع مقابلش را به نسبت اضلاع زاویه تقسیم می کند:

حکم: \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)

برهان خلف: از C خطی موازی AD رسم می کنیم تا امتداد AB را در E قطع کند:

\(\begin{array}{l}1)AD\parallel CE \Rightarrow {{\hat A}_1} = \hat E \ ,{{\hat A}_2} = {{\hat C}_1}\\\\ \Rightarrow {{\hat A}_1} = {{\hat A}_2} \Rightarrow {{\hat C}_1} = \hat E \Rightarrow AC = AE\\\\B\mathop C\limits^\Delta E:AD\parallel CE \Rightarrow \frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{AE}} \Rightarrow \frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}}\end{array}\)

در دو مثلث متشابه، نسبت ارتفاع های نظیر برابر با نسبت تشابه است.

فرض: \(A\mathop B\limits^\Delta C \sim A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

حکم: \(\frac{{AH}}{{A'H'}} = k\)

\(\begin{array}{l}\hat H = \hat H' = {90^0}\\\hat C = \hat C'\\ \to \Delta ACH \sim \Delta A'C'H' \to \frac{{AH}}{{A'H'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{CH}}{{C'H'}} \to \frac{{AH}}{{A'H'}} = k\end{array}\)

در دو مثلث متشابه، نسبت نیم ساز های نظیر برابر با نسبت تشابه است.

فرض: \(A\mathop B\limits^\Delta C \sim A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

حکم: \(\frac{{AD}}{{A'D'}} = k\)

طبق فرض: \(\hat A = \hat A' \Rightarrow {\hat A_2} = {\hat A'_2}\)

\(\begin{array}{l}{{\hat A}_2} = {{\hat A'}_2}\\\\\hat C = \hat C'\\\\ \Rightarrow A\mathop C\limits^\Delta D \sim A'\mathop {C'}\limits^\Delta D' \Rightarrow \frac{{AD}}{{A'D'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{CD}}{{C'D'}}\\\\ \Rightarrow \frac{{AD}}{{A'D'}} = k\end{array}\)

در دو مثلث متشابه، نسبت میانه های نظیر برابر با نسبت تشابه است.

فرض: \(A\mathop B\limits^\Delta C \sim A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

حکم: \(\frac{{AM}}{{A'M'}} = k\)

طبق فرض: \(\frac{{BC}}{{B'C'}} = k \Rightarrow \frac{{CM}}{{C'M'}} = k\)

\(\begin{array}{l}\frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{CM}}{{C'M'}} = k\\\\\hat C = \hat C'\\\\ \Rightarrow A\mathop C\limits^\Delta M \sim A'\mathop {C'}\limits^\Delta M' \Rightarrow \frac{{AM}}{{A'M'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{CM}}{{C'M'}} \Rightarrow \frac{{AM}}{{A'M'}} = k\end{array}\)

در دو مثلث متشابه، نسبت محیط ها برابر با نسبت تشابه است.

فرض: \(A\mathop B\limits^\Delta C \sim A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

حکم: \(\frac{P}{{P'}} = k\)

\(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = k \Rightarrow \frac{{AB + AC + BC}}{{A'B' + A'C' + B'C'}} = k \Rightarrow \frac{P}{{P'}} = k\)

در دو مثلث متشابه، نسبت مساحت ها برابر با توان دوم نسبت تشابه است.

فرض: \(A\mathop B\limits^\Delta C \sim A'\mathop {B'}\limits^\Delta C'\)

حکم: \(\frac{S}{{S'}} = {K^2}\)

\(\frac{S}{{S'}} = \frac{{\frac{1}{2} \times a \times h}}{{\frac{1}{2} \times a' \times h'}} = \frac{a}{{a'}} \times \frac{h}{{h'}} = {k^2} \Rightarrow \frac{S}{{S'}} = {k^2}\)

روابطی که در بالا در مورد مثلث های متشابه مطرح شد را می توان در مورد هر دو چند ضلعی متشابه نیز مطرح کرد.