درسنامه کامل هندسه دهم فصل 3 چند ضلعی ها

چند ضلعی، شکلی است که از اجتماع حداقل سه پاره خط تشکیل شده باشد؛ به طوری که:

1. هر پاره خط، دقیقا دو پاره خط دیگر را در نقاط انتهایی خودش قطع کند.
2. هر دو پاره خط متوالی که در یک انتها مشترک اند، روی یک خط نباشند.

چند ضلعی محدب و مقعر

چند ضلعی را محدب گوییم هر گاه با در نظر گرفتن خط شامل هر ضلع آن بقیه نقاط چند ضلعی در یک طرف آن خط واقع شوند. (به بیان ساده تر، زاویه ی بزرگتر از \({180^0}\)  در چند ضلعی وجود نداشته باشد.)

هر چند ضلعی را که محدب نباشد، مقعر می نامند.

قطر در چند ضلعی ها

در هر n ضلعی، هر پاره خط را که دو انتهای آن، دو راس غیر مجاور باشند، قطر می نامیم.

از هر راس یک n ضلعی محدب، قطر می توان رسم کرد (خود راس و دو راس کناری آن که با ضلع به هم متصل اند، کم می شوند)؛ لذا تعداد کل قطر های هر n ضلعی محدب از رابطه ی \(\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\)  محاسبه می شود.

1) متوازی الاضلاع

متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع رو به روی آن دو به دو موازی اند.

قضیه 1

در هر متوازی الاضلاع، اضلاع رو به رو با هم برابرند.

فرض: \(\begin{array}{l}AB\parallel DC\\AD\parallel BC\end{array}\)

حکم: \(\begin{array}{l}AB = DC\\AD = BC\end{array}\)

برهان: قطر BD را رسم می کنیم:

\(\begin{array}{l}{{\hat B}_1} = {{\hat D}_1}\\\\BD = BD\\\\{{\hat B}_2} = {{\hat D}_2}\\\\ \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta D \cong B\mathop C\limits^\Delta D \Rightarrow AB = DC \ , \ AD = BC\end{array}\)

عکس قضیه 1

اگر در یک چهارضلعی، اضلاع رو به رو باهم برابر باشند، آنگاه چهارضلعی، متوازی الاضلاع است.

فرض: \(\begin{array}{l}AB = DC\\AD = BC\end{array}\)

حکم: \(\begin{array}{l}AB\parallel DC\\AD\parallel BC\end{array}\)

\(\begin{array}{l}AB = DC\\\\AD = BC\\\\BD = BD\\\\ \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta D \cong B\mathop C\limits^\Delta D\\\\ \Rightarrow {{\hat B}_1} = {{\hat D}_1} \Rightarrow AB\parallel DC\\\\ \Rightarrow {{\hat B}_2} = {{\hat D}_2} \Rightarrow AD\parallel BC\end{array}\)

قضیه 2

در هر متوازی الاضلاع، زوایای مجاور مکمل اند.

حکم: \(A + B = B + C = C + D = A + D = {180^0}\)

\(\begin{array}{l}AB\parallel CD \Rightarrow \hat C = {{\hat B}_2}\\\\\hat B \Rightarrow {B_1} + {B_2} = {180^0}\\\\ \Rightarrow {{\hat B}_1} + {{\hat C}_1} = {180^0}\end{array}\)

مابقی تساوی ها نیز به همین ترتیب ثابت می شوند.

عکس قضیه 2

اگر در یک چهارضلعی، هر دو زاویه ی مجاور مکمل باشند، آنگاه چهارضلعی، متوازی الاضلاع است.

\(\begin{array}{l}{{\hat B}_1} + {{\hat C}_1} = {180^0}\\\\{{\hat B}_1} + {{\hat B}_2} = {180^0}\\\\ \Rightarrow {{\hat B}_2} = {{\hat C}_1} \Rightarrow AB\parallel CD\end{array}\)

\(AD\parallel BC\)  به همین ترتیب ثابت می شود

قضیه 3

در هر متوازی الاضلاع، زوایای مقابل برابرند.

حکم: \(\begin{array}{l}\hat A = \hat C\\\hat B = \hat D\end{array}\)

از همنهشتی قضیه 1 داریم:

\(\begin{array}{l}{{\hat B}_1} = {{\hat D}_1}\\\\{{\hat B}_2} = {{\hat D}_2}\\\\ \Rightarrow \hat B = \hat D \ , \ \hat A = \hat C\end{array}\)

عکس قضیه 3

اگر در یک چهارضلعی، هر دو زاویه ی مقابل برابر باشند، آنگاه چهارضلعی، متوازی الاضلاع است.

\(\begin{array}{l}\hat A = \hat B = \hat C = \hat D = {360^0} \Rightarrow 2\hat B + 2\hat C = {360^0}\\ \Rightarrow \hat B + \hat C = {180^0}\end{array}\)

از اثبات بالا نتیجه میگیریم که چهارضلعی ABCD متوازی الاضلاع است.

قضیه 4

در هر متوازی الاضلاع، قطر ها منصف یکدیگرند.

حکم: \(\begin{array}{l}OA = OC\\OB = OD\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{{\hat B}_1} = {{\hat D}_1}\\\\AB = CD\\\\{{\hat A}_1} = {{\hat C}_1}\\\\ \Rightarrow A\mathop O\limits^\Delta B \simeq C\mathop O\limits^\Delta D \Rightarrow OA = OC\ ,\ OB = OD\end{array}\)

عکس قضیه 4

اگر در یک چهارضلعی، قطر ها منصف یکدیگر باشند، آنگاه چهارضلعی، متوازی الاضلاع است.

\(\begin{array}{l}OA = OC\\\\{{\hat O}_1} = {{\hat O}_2}\\\\OB = OD\\\\ \Rightarrow A\mathop O\limits^\Delta B \cong C\mathop O\limits^\Delta D \Rightarrow {B_1} = {D_1} \Rightarrow AB\parallel DC\end{array}\)

سایر اثبات ها نیز همانند بالا اثبات می شود.

مستطیل، متوازی الاضلاعی است که یک زاویه ی 90 درجه دارد.

قضیه 5

در هر مستطیل، دو قطر باهم برابر و منصف یکدیگرند.

قضیه 6

متوازی الاضلاعی که دو قطر برابر دارد، مستطیل است.

فرض: \(\begin{array}{l}ABCD\\AC = BD\end{array}\)

حکم: ABCD مستطیل است.

\(\begin{array}{l}DC = DC\\\\AD = BC\\\\AC = BD\\\\ \Rightarrow A\mathop D\limits^\Delta C \cong B\mathop D\limits^\Delta C \Rightarrow \hat D = \hat C \Rightarrow D + C = {180^0} \Rightarrow \hat D = \hat C = {90^0}\end{array}\)

قضیه 7

در هر مثلث قائم الزاویه، میانه ی وارد بر وتر، نصف وتر است.

برهان: میانه AM را به اندازه خودش تا D امتداد داده و از D به B و C وصل می کنیم:

\(\begin{array}{l}AM = DM\\\\BM = CM\\\\ \Rightarrow ABCD \Rightarrow \hat A = {90^0} \Rightarrow AD = BC\\\\ \Rightarrow 2AM = BC \Rightarrow AM = \frac{{BC}}{2}\end{array}\)

عکس قضیه 7

اگر در مثلثی، میانه وارد بر یک ضلع، نصف آن ضلع باشد، آنگاه مثلث قائم الزاویه است.

قرار می دهیم: \(\begin{array}{l}\hat C = \alpha \Rightarrow MA = MC \Rightarrow {{\hat A}_1} = \hat C = \alpha \\\hat B = \beta \Rightarrow MA = MB \Rightarrow {{\hat A}_2} = \hat B = \beta \end{array}\)

\(\begin{array}{l}A\mathop B\limits^\Delta C:\hat A + \hat B + \hat C = {180^0} \Rightarrow 2\alpha + 2\beta = 180\\\\ \Rightarrow \alpha + \beta = 90 \Rightarrow \hat A = \alpha + \beta = 90\end{array}\)

قضیه 8

در مثلث قائم الزاویه، اگر یک زاویه 30 درجه باشد، آنگاه ضلع رو به رو به زاویه ی 30 درجه نصف وتر است.

فرض: \(\hat C = {30^0}\)

حکم: \(AB = \frac{{BC}}{2}\)

برهان: میانه AM را رسم می کنیم

\(\begin{array}{l}\hat C = {30^0} \Rightarrow \hat B = 90 - \hat C = 90 - 30 = 60 \Rightarrow \hat B = {60^0}\\\\\hat C = {30^0} \Rightarrow MA = MC \Rightarrow {{\hat A}_1} = {30^0}\\\\ \Rightarrow {{\hat A}_2} = 90 - {{\hat A}_1} = 90 - 30 = 60 \Rightarrow {{\hat A}_2} = {60^0}\\\\A\mathop B\limits^\Delta M:\hat B = {60^0} \ , \ {{\hat A}_2} = {60^0} \Rightarrow \hat M = {60^0} \Rightarrow AB = BM = \frac{{BC}}{2}\end{array}\)

عکس قضیه 8

در مثلث قائم الزاویه، اگر یک ضلع نصف وتر باشد، آنگاه زاویه ی رو به رو به این ضلع 30 درجه است.

فرض: \(AB = \frac{{BC}}{2}\)

حکم: \(\hat C = {30^0}\)

برهان: میانه AM را رسم می کنیم:

\(\begin{array}{l}AB = AM = BM = \frac{{BC}}{2} \Rightarrow A\mathop B\limits^\Delta M\\ \Rightarrow \hat B = {60^0}\ , \ \hat C = {30^0}\end{array}\)

مربع، مستطیلی است که طول و عرض برابر دارد. (یا مستطیلی است که قطر هایش بر هم عمودند)

قضیه 9

قطر های مربع، نیمساز زوایای مربع می باشند و مربع را به چهار مثلث همنهشت تقسیم می کنند.

لوزی

لوزی، متوازی الاضلاعی است که طول و عرض برابر دارد.

قضیه 10

در لوزی قطر ها عمودمنصف یکدیگرند و بر عکس.

قضیه 11

در لوزی قطر ها نیم ساز زوایای لوزی می باشند و برعکس.

ذوزنقه، چهار ضلعی است که فقط دو ضلع آن با هم موازی اند.

\(AB\parallel CD \Rightarrow \hat A + \hat D = {180^0}\;,\;\hat B + \hat C = {180^0}\)

ضلع های غیر موازی AD و BC ساق های ذوزنقه و AD و CD قاعده های ذوزنقه نامیده می شوند.

قضیه 12

در هر ذوزنقه ی متساوی الساقین، زاویه های مجاور به یک قاعده برابرند.

فرض: \(AD = BC\)

حکم: \(\hat C = \hat D\)

\(\begin{array}{l}AD = BC\\\\AH = BH\\\\ \Rightarrow A\mathop D\limits^\Delta H \cong B\mathop C\limits^\Delta H' \Rightarrow \hat C = \hat D\end{array}\)

عکس قضیه 12

اگر در یک ذوزنقه، دو زاویه ی مجاور به یک قاعده برابر باشند، آنگاه ذوزنقه متساوی الساقین است.

فرض: \(\hat C = \hat D\)

حکم: \(AD = BC\)

\(\begin{array}{l}B\mathop C\limits^\Delta H',A\mathop D\limits^\Delta H:\hat H = \hat H' = {90^0}\;,\;\hat C = \hat D \Rightarrow {{\hat A}_1} = {{\hat B}_1}\\\\{{\hat A}_1} = {{\hat B}_1}\\\\AH = BH'\\\\\hat H = \hat H' = {90^0}\\\\A\mathop D\limits^\Delta H \cong B\mathop C\limits^\Delta H' \Rightarrow AD = BC\end{array}\)

قضیه 13

در هر ذوزنقه ی متساوی الساقین، اقطار با یکدیگر برابرند و برعکس.

فرض: \(AD = BC\)

حکم: \(AC = BD\)

\(\begin{array}{l}AD = BC\\\\\hat D = \hat C\\\\DC = DC\\\\ \Rightarrow A\mathop D\limits^\Delta C \cong B\mathop C\limits^\Delta D \Rightarrow AC = BD\end{array}\)

\(\begin{array}{l}S = {a^2}\\P = 4a\\d = a\sqrt 2 \end{array}\)

\(\begin{array}{l}S = ab\\P = 2\left( {a + b} \right)\\d = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \end{array}\)

\(\begin{array}{l}S = \frac{{a \times {h_a}}}{2}\\P = a + b + c\end{array}\)

\(\begin{array}{l}S = a \times h = b \times h'\\P = 2\left( {a + b} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}S = \frac{{AC \times BD}}{2}\\P = 4a\end{array}\)

\(\begin{array}{l}S = \frac{{\left( {a + b} \right) \times h}}{2}\\P = a + b + c + d\end{array}\)

در شکل زیر، نقاطی عمودی و افقی در کنار هم وجود دارند به طوری که فاصله ی هر دو نقطه ی متوالی روی یک خط عمودی (یا افقی) از هم برابر یک واحد است. به این نقاط، نقاط شبکه ای و به چند ضلعی ABCD، یک چند ضلعی شبکه ای می گوییم.

نقاط شبکه ای روی راس ها و ضلع های چند ضلعی را نقاط مرزی و نقاط شبکه ای درون چند ضلعی ها را نقاط درونی شبکه ای می نامیم.

به طور مثال چهارضلعی ABCD دارای 5 نقطه مرزی و 9 نقطه ی درونی شبکه ای است.

فرمول پیک: اگر تعداد نقاط مرزی را با b و تعداد نقاط درونی شبکه ای را با i نشان دهیم، مساحت چند ضلعی شبکه ای برابر است با: \(S = \frac{b}{2} - 1 + i\)

به کمک فرمول پیک می توان مساحت شکل های نامنظم هندسی را به طور تقریبی محاسبه کرد.