نمونه سوالات تستی فصل 1 ریاضی نهم همراه با جواب تشریحی

حروف تکراری را یک بار حساب می کنیم. مجموعا حروف این کلمه عبارتند از:

 {ه، خ، ا، م، ن، ش، ی}؛ پس این مجموعه 7 عضو دارد.

باید \(\frac{{2x - 6}}{4}\)  را با هر یک از اعضای دیگر مساوی قرار دهیم و مقادیر مختلف برای x پیدا کنیم:

\(\begin{array}{l}\frac{{2x - 6}}{4} = 5 \Rightarrow 2x - 6 = 20 \Rightarrow 2x = 26\\\\ \Rightarrow x = 13\\\\\frac{{2x - 6}}{4} = - 2 \Rightarrow 2x - 6 = - 8 \Rightarrow 2x = - 2\\\\ \Rightarrow x = - 1\\\\\frac{{2x - 6}}{4} = - 3 \Rightarrow 2x - 6 = - 12 \Rightarrow 2x = - 6\\\\ \Rightarrow x = - 3\end{array}\)

مجموع مقادیر x \(13 + ( - 1) + ( - 3) = 9 = \)

اگر مقدار a=0 باشد، که بزرگترین عضو ، همه اعضا است؛ اگر مقدار a=-1 باشد، بزرگ ترین اعضا \({a^{10}}, \cdots ,{a^4},{a^2}\)  می باشد. اما اگر \( - 1 < a < 0\)  باشد و توان های a اعدادی فرد باشند، با افزایش توان های a، حاصل بزرگ تر می شود؛ یعنی \({a^1} < {a^3} < {a^5} < \cdots \)  ولی دقت شود که تمام این اعداد منفی هستند.

اگر \( - 1 < a < 0\)  باشد و توان های a، اعدادی زوج باشند، با افزایش توان های a، حاصل کوچک تر می شود، یعنی \({a^3} > {a^4} > {a^6} > \cdots \) . دقت شود که تمام این اعداد مثبت هستند.

بنابراین توان a، عددی زوج و کمتر باشد؛ بنابراین \({a^2}\)  از همه بزرگ تر است.

گزینه (1) مجموعه تهی می باشد؛ چرا که مجموع 5 عدد فرد، عددی فرد می شود که بر 2 بخش پذیر نیست.

گزینه (2) افرادی که روز گذشته به پارک رفته اند، معلوم و تعریف شده و قابل شمارش هستند.

گزینه (4) مجموعه{2و1} می باشد.

اما در گزینه (3) تعریف دقیق و درستی از اعداد حقیقی خیلی بزرگ بیان نشده است و این عبارت مجموعه نیست.

می دانیم \(\{ \} = \emptyset \)  می باشد، بنابراین:

\(\{ 0,\emptyset ,\{ \emptyset \} ,\{ \{ \emptyset \} ,\{ \} \} ,\{ \} \} = \{ 0,\emptyset ,\{ \emptyset \} ,\{ \{ \emptyset \} ,\{ \} \} \} \)

تعداد عضو ها، 4 تا می باشد.

اگر A=B باشد، تعداد اعضای دو مجموعه با هم برابرند.

{45و15و9و5و3و1}=مقسوم علی های عدد 45

\(A = \{ 1,45\} ,B = \{ 3,15\} ,C = \{ 5,9\} \)

اگر تعداد این مجموعه را n بگیریم، داریم:

\(\begin{array}{l}{2^n} - {2^{n - 4}} = 960 \Rightarrow {2^n} - \frac{{{2^n}}}{{{2^4}}} = 960\\\\ \Rightarrow {2^n} - \frac{{{2^n}}}{{16}} = 960 \Rightarrow {2^n}(1 - \frac{1}{{16}}) = 960\\\\{2^n} \times \frac{{15}}{{16}} = 960 \Rightarrow {2^n} = \frac{{960 \times 16}}{{15}} = \\\\ \Rightarrow \frac{{64 \times 16}}{1} = {2^6} \times {2^4} = {2^{10}} \Rightarrow n = 10\end{array}\)

این مجموعه دارای 3 عضو است، یعنی \(\{ - 5,\{ 1,2\} ,\sqrt 3 \} \) ؛ بنابراین \({2^3} = 8\)  زیر مجموعه دارد.

تعداد عضو مجموعه A برابر 3 می باشد؛ بنابراین دارای \({2^3} = 8\)  زیر مجموعه است.

همچنین تعداد عضو مجموعه B برابر 6 می باشد؛ بنابراین دارای \({2^6} = 64\)  زیر مجموعه است.

بنابراین جواب \(\frac{8}{{64}} = \frac{1}{8}\)  می شود.

اگر \(B \subseteq A\)  باشد، آن گاه هر سه تساوی زیر همواره برقرار هستند:

\(\begin{array}{l}1)A \cap B = B\\\\2)AUB = A\\\\3)B - A = \{ \} \end{array}\)

همواره داریم:

\(\begin{array}{l}A \subseteq (A \cup B)\\\\B \subseteq (A \cup B)\\\\(A \cap B) \subseteq A\\\\(A \cap B) \subseteq B\end{array}\)

از نمودار ون استفاده می کنیم:

\(\begin{array}{l}n(A - B) = n(A) - n(A \cap B) = 7 - 5 = 2\\\\n(B - A) = n(B) - n(A \cap B) = 10 - 5 = 5\\\\ \Rightarrow n[(A - B) \cup (B - A)] = 2 + 5 = 7\end{array}\)

گزینه 1 =\(\frac{1}{2}\)

گزینه 2 =\(\frac{1}{2}\)

گزینه 3 =\(\frac{1}{6}\)

گزینه 4 =\(\frac{1}{3}\)

در کل 12=6×3 حالت داریم، حالت های مطلوب عبارتند از:

احتمال\( \Rightarrow \frac{3}{{12}}\) {(6 و پشت) و (4 و پشت) و (1 و پشت)}

تعداد توپ های خاکستری را n در نظر می گیریم. پس تعداد کل توپ ها برابر با\(10 + 15 + x = 25 + x\)  می شود:

 \( = \frac{1}{6} = \frac{x}{{25 + x}}\) احتمال خاکستری آمدن توپ

\(\begin{array}{l}\frac{{p(A)}}{{p(A \cap B)}} = \frac{1}{3},\frac{{p(B)}}{{p(A \cap B)}} = \frac{2}{3}\\\\\frac{{p(A \cup B)}}{{p(A \cap B)}} = \frac{{p(A) + p(B) - p(A \cap B)}}{{p(A \cap B)}} = \\\\ \Rightarrow \frac{{p(A)}}{{p(A \cap B)}} + \frac{{P(B)}}{{P(A \cap B)}} - 1\\\\ \Rightarrow \frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 1 = 1 - 1 = 0\end{array}\)

چون \(B \subseteq A\)  است، بنابراین می توان مجموعه A را مجموعه مرجع در نظر گرفت؛ بنابراین کل حالت ها در مجموعه A می باشد:

\(\begin{array}{l}n(A) = n(A - B) + n(A \cap B) = 5 + 7 = 12\\\\n(B') = n(A - B) = 5\\\\ \Rightarrow p(B') = \frac{5}{{12}}\end{array}\)