نمونه سوالات فصل 3 ریاضی نهم همراه با جواب تشریحی

علیرضا از محمد حسین قوی تر و از رضوان ضعیف تر است؛ پس داریم:

رضوان، علیرضا، محمدحسین

و از آن جایی که محمد از رضوان قوی تر بوده، داریم:

محمد، رضوان، علیرضا، محمدحسین

فرض کنیم استوانه ای به شعاع r و ارتفاع h داریم. اگر \({\overline V _1}\)  حجم استوانه پس از 3 برابر شدن شعاع باشد، در این صورت داریم:

\({\overline V _1} = h \times \pi \times 9{r^2} = 9\pi {r^2}h\)

و اگر \({\overline V _2}\)  حجم استوانه پس از 8 برابر شدن ارتفاع باشد، داریم:

\({\overline V _2} = 8h \times \pi \times {r^2} = 8\pi {r^2}h\)

با مقایسه دو مقدار بالا نتیجه می شود:

\(\overline {{V_1}} > \overline {{V_2}} \)

باسیل ها نوعی میکروب هستند.

بعضی از باسیل ها بیماری زا هستند.

نتیجه گیری که می توان از 2 جمله بالا کرد به صورت زیر است:

1) برخی بیماری ها منشا میکروبی اند.

2) بعضی میکروب ها، بیماری زا هستند.

الف) نمی توان این مورد را دقیق بیان کرد پس نادرست است.

ب) از آن جایی که این کلاس 30 نفره است و اعداد از 10 تا 20 می باشند، قطعا در بدترین حالت، سه نمره یکسان توسط دانش آموزان گرفته شده است، پس نادرست است.

پ) با توجه به توضیح قسمت (ب) درست است.

الف) مجموع زاویه های داخلی مثلث همواره برابر \(180^\circ \)  می شود، و چون جمع دو زاویه باز بیشتر از \(180^\circ \)  می شود، چنین مثلثی وجود ندارد.

ب) نیم ساز، نیم خطی است که زاویه را به دو زاویه مساوی تقسیم می کند و نیم ساز بین دو ضلع زاویه رسم می شود. فرض می کنیم که دو نیم ساز مثلث همدیگر را قطع کرده اند، آن گاه نیم ساز راس سوم نیز از محل تلاقی آن ها می گذرد:

الف) فرض کنیم مستطیلی به طول a و عرض 2a داریم:

محیط مستطیل = مساحت مستطیل

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 6a = 2{a^2} \Rightarrow 2{a^2} - 6a = 0 \Rightarrow 2a(a - 3) = 0\\\\ \Rightarrow a = 3\end{array}\)

محیط و مساحت مستطیلی به طول 3 و عرض 6، با هم برابرند.

ب) دایره ای به شعاع r در نظر بگیرید:

محیط دایره = مساحت دایره

\(\begin{array}{l}2\pi r = \pi {r^2} \Rightarrow \pi {r^2} - 2\pi r = 0 \Rightarrow \pi r(r - 2) = 0\\\\ \Rightarrow r = 2\end{array}\)

محیط و مساحت دایره ای به شعاع 2، با هم برابرند.

الف) جیوه، فلزی است که در دمای اتاق مایع می باشد.

ب) ذوزنقه متساوی الساقین، ذوزنقه ای است که اندازه دو ساق آن با هم برابرند.

چون دست ما در آب گرم قرار داشته، به درستی نمی توانیم دمای آب ظرف دوم را تشخیص دهیم و دمای آن را بیشتر از آن چه هست، حدس میزنیم.

الف) فرض: شکل مثلث می باشد.

حکم: مجموع زوایای داخلی مثلث برابر \(180^\circ \)  می باشد.

ب) فرض: شکل مربع می باشد.

حکم: قطر های مربع بر همدیگر عمود هستند.

مثلث ABC را در نظر می گیریم و خط d را موازی ضلع BC رسم می کنیم:

\(\begin{array}{l}AB,d\parallel c \Rightarrow {{\hat A}_3} = \hat B\\\\AC,d\parallel c \Rightarrow {{\hat A}_1} = \hat C\\\\ \Rightarrow {{\hat A}_1} + {{\hat A}_2} + {{\hat A}_3} = 180^\circ \Rightarrow {{\hat A}_2} + \hat B + \hat C = 180^\circ \end{array}\)

برای زاویه xAy، نیم ساز AN را رسم کرده ایم. نقطه دلخواه M را روی آن در نظر می گیریم:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}{{\hat A}_1} = {{\hat A}_2}\\\\AM\\\\\hat H = {{\hat H}^1} = 90^\circ \end{array} \right\} \Rightarrow A\mathop M\limits^\Delta H \cong A\mathop M\limits^\Delta H`\\\\ \Rightarrow MH = MH`\end{array}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 = 10\\\\y + 6/5 = 9/5\\\\{z^2} - 1 = 15\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7\\\\y = 3\\\\z = 4\end{array} \right.\)

\(\left. \begin{array}{l}AD = BC\\\\AD = BD\\\\DC=DC\end{array} \right\} \Rightarrow A\mathop C\limits^\Delta D \cong B\mathop C\limits^\Delta D \Rightarrow {\hat D_1} = {\hat C_1}\)

ذوزنقه متساوی الساقین است پس دو مثلث کناری به دلیل اینکه شامل عرض مستطیل می باشند، بنا به حالت وتر و یک ضلع هم نهشت هستند؛ بنابراین:

\(A\mathop {{H_1}}\limits^\Delta D \cong B\mathop {{H_2}}\limits^\Delta C \Rightarrow {\hat A_1} = {\hat B_1}\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AB = AC\\\\S = \frac{{AB \times BH}}{2} = \frac{{AC \times CH`}}{2}\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow AB \times BH = AC \times CH` \Rightarrow BH = CH`\end{array}\)

قدم اول: متوازی الاضلاع ABCD

قدم دوم:

\(\left\{ \begin{array}{l}AB\parallel DC\\\\AD\parallel BC\end{array} \right.\)

قدم سوم:

قدم چهارم: اضلاع متوازی الاضلاع را از رأس هایش امتداد، می دهیم:

\(\begin{array}{l}AB,AD\parallel BC \Rightarrow {{\hat A}_2} = \hat B\\AD,AB\parallel DC \Rightarrow {{\hat A}_2} = \hat D\\\\ \Rightarrow \hat B = \hat D\end{array}\)

برای دو زاویه A و C نیز به همین صورت اثبات می شود.

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}BD,AB\parallel CD \Rightarrow {{\hat B}_1} = {{\hat D}_1}\\\\AC,AB\parallel CD \Rightarrow {{\hat A}_1} = {{\hat C}_1}\\\\AB = CD\end{array} \right\}A\mathop {MB}\limits^\Delta \cong D\mathop M\limits^\Delta C\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM = MC\\\\BM = MD\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}BD = \sqrt {B{C^2}C{D^2}} = \sqrt {{8^2} + {6^2}} = \sqrt {64 + 36} = \\\\\sqrt {100} = 10\\\\\frac{{BC}}{{DH}} = \frac{{DC}}{{AH}} = \frac{{BD}}{{AD}} \Rightarrow \frac{8}{x} = \frac{6}{y} = \frac{{10}}{8}\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{8 \times 8}}{{10}} = 6/4\\\\y = \frac{{6 \times 8}}{{10}} = 4/8\end{array} \right.\end{array}\)

استدلال

اثبات درستی

مثال نقض

نمی توان

اطلاعاتی – حکم

نیم ساز زاویه

برابری اضلاع رو به رو – منصف بودن قطر ها

نیم ساز زاویه راس

دو خط مماس

وتر و یک ضلع – وتر و یک زاویه تند

نیم ساز – میانه – ارتفاع

هم اندازه

نظیر- آن ها

قطر

لوزی

نوشتن مفاهیم – رسم شکل – نوشتن فرض و حکم – اثبات حکم

\({(5)^2} = 25\)

500000

منتظم

یک زاویه

با استفاده از چند مثال نمی توان یک موضوع را اثبات کرد.

به این اطلاعات ((فرض مسئله)) گفته می شود.

زاویه مرکزی می گوییم.

نادرست زاویه محاطی می گوییم.

در مثلث متساوی الساقین، هر سه زاویه با هم برابرند.

مقیاس می گوییم.

بایستی دو ضلع و زاویه بین دو ضلع از هر دو مثلث به صورت متناظر با هم برابر باشند.

برای هم نهشت بودن دو مثلث، برابر بودن سه زاویه متناظر کافی نیست؛ باید حداقل یک ضلع برابر داشته باشند.

یک استدلال یا معتبر است یا نامعتبر، استدلال نمی تواند هم معتبر باشد و هم نا معتبر. همچنین متوازی الاضلاع با زاویه های برابر، مستطیل می باشد.

در یک مثلث متساوی الساقین، فرق نمی کند که کدام زاویه 60 درجه باشد، هر زاویه که 60 درجه باشد، باقی زوایا 60 درجه می شوند و مثلثی که هر سه زاویه آن برابر باشد، هر سه ضلع آن برابر است؛ بنابراین مثلث متساوی الاضلاع می باشد.

چون قبلا فکر کرده است عدد مضرب 3 و 7 است، پس از فهمیدن اشتباه، می توان نتیجه گرفت که عدد مضرب 3 و 7 نیست.

ریاضی نمی تواند گوشه سمت راست باشد، چرا که عربی باید سمت راست او باشد و این امکان ندارد. پیام نیز طبق متن نه در گوشه سمت چپ است و نه در سمت راست. اگر فرض کنیم عربی در گوشه سمت راست قرار دارد با توجه به فرضیات مسئله به چینش زیر می رسیم:

عربی، پیام، فارسی، ریاضی و علوم.

در شکل های محدب، همه زاوی های داخلی کمتر از 180 درجه و در شکل مقعر، حداقل یک زاویه داخلی بزرگ تر از 180 درجه وجود دارد. شکل سوم از سمت راست محدب و مابقی مقعر هستند.

زیرا یک زاویه بزرگ تر از 180 درجه دارد.

\(\left. \begin{array}{l}c = x + b\\\\x = a + a = 2a\end{array} \right\} \Rightarrow c = 2a + b\)

محل برخورد ارتفاع ها در مثلث قائم الزاویه بر روی راسی است که زاویه قائم دارد و روی محیط شکل می باشد.

مثال نقض آن در شکل زیر آمده است:

مساحت های هر دو مثلث برابر است، اما زاویه های داخلی مثلث با هم برابر نیست.

چون هر دو مثلث، قائم الزاویه هستند، دارای یک زاویه تند برابر (زاویه ساق)، یک وتر برابر (ساق برابر) و ضلع مشترک (ارتفاع وارد بر قاعده)، از هر سه حالت ((ض ز ض، ز ض ز، وتر و یک ضلع)) می توان به خواسته مسئله رسید.

در مثلث قائم الزاویه با زاویه 30 درجه، ضلع رو به رو زاویه 30 درجه نصف وتر است. همچنین ضلع رو به رو به زاویه 60 درجه نیز \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)  وتر می باشد:

\(\begin{array}{l}\overline {AE} = \sqrt {\overline {E{B^2}} - \overline {A{B^2}} } = \sqrt {{{(2x)}^2} - {x^2}} = \\\\ \Rightarrow \sqrt {4{x^2} - {x^2}} = \sqrt {3{x^2}} = \sqrt 3 x\\\\\frac{{AE}}{{BE}} = \frac{{\sqrt 3 x}}{{2x}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\\{S_{E\mathop A\limits^\Delta B}} = \frac{{EA \times AB}}{2} = \frac{{\sqrt 3 x \times x}}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{x^2} = \\\\16\sqrt 3 \Rightarrow {x^2} = 32 \Rightarrow x = 4\sqrt 2 \Rightarrow \overline {BE} = 2x = 8\sqrt 2 \end{array}\)

همچنین چون مثلث \(B\hat OC\)  متساوی الاضلاع است (چون زاویه مرکزی 60 درجه می باشد و دو ساق با هم برابرند؛ پس دو زاویه داخلی دیگه مثلث 60 درجه می باشد)

\(\begin{array}{l}BC = R\\\\{S_{A\mathop B\limits^\Delta C}} = \frac{{BC \times AH}}{2} = \frac{{R \times \frac{{\sqrt 3 }}{2}R}}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{R^2} = \\\\\frac{{\sqrt 3 }}{4}{(2)^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \times 4 = \sqrt 3 \end{array}\)

برای دیگر گزینه ها می توان مثال نقض برای رد آن ها آورد.

\(\begin{array}{l}AC = OC \Rightarrow {{\hat O}_1} = \hat A = 20^\circ \Rightarrow {{\hat C}_1} = {{\hat O}_1} + \hat A = \\\\20^\circ + 20^\circ = 40^\circ \\\\OC = OB \Rightarrow {{\hat C}_1} = \hat B = 40^\circ \\\\O\mathop A\limits^\Delta \,B:x = \hat A + \hat B \Rightarrow x = 40^\circ + 20^\circ \Rightarrow x = 60^\circ \end{array}\)

\(\begin{array}{l}{x^2} = {4^2} + {4^2} = 16 + 16 = 32 \Rightarrow x = 4\sqrt 2 \\\\OA = x + 4 = 4 + 4\sqrt 2 = 4(1 + \sqrt 2 )\end{array}\)

مساحت مثلث متساوی الاضلاع:

\(\begin{array}{l} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2} = 18\sqrt 3 \Rightarrow {a^2} = 72 \Rightarrow a = 6\sqrt 2 = \\\\ \Rightarrow TT' = a \Rightarrow TT' = 6\sqrt 2 \end{array}\)

درباره گزینه سوم، دو مثلث باید یا یک ضلع متناسب و دو زاویه برابر داشته باشد یا اینکه دو مثلث که دو ضلع متناسب با زاویه مساوی بین آن دو ضلع دارند.

مثلث اول، زاویه سوم:

\(180^\circ - (60^\circ + 50^\circ ) = 70^\circ \)

مثلث دوم، زاویه سوم:

\(180^\circ - (60^\circ + 70^\circ ) = 50^\circ \)

بنابراین هر زاویه دو مثلث برابر 50، 60 و 70 درجه می باشند؛ بنابراین دو مثلث حتما متشابه هستند.

\({7^{cm}} \times 50 = {3500^{cm}} \times \frac{{{1^m}}}{{{{100}^{cm}}}} = \frac{{3500}}{{100}} = {35^m}\)

\(\begin{array}{l}A{E^2} = {5^2} - {3^2} = 25 - 9 = 16 \Rightarrow AE = 4\\\\\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{ED}}{{BC}} \Rightarrow \frac{4}{{4 + 8}} = \frac{5}{{BC}} \Rightarrow BC = \frac{{5 \times 12}}{4} = \\\\\frac{{60}}{4} = 15\end{array}\)