نمونه سوالات تستی فصل 3 ریاضی نهم همراه با جواب تشریحی

یک استدلال یا معتبر است یا نامعتبر، استدلال نمی تواند هم معتبر باشد و هم نا معتبر. همچنین متوازی الاضلاع با زاویه های برابر، مستطیل می باشد.

در یک مثلث متساوی الساقین، فرق نمی کند که کدام زاویه 60 درجه باشد، هر زاویه که 60 درجه باشد، باقی زوایا 60 درجه می شوند و مثلثی که هر سه زاویه آن برابر باشد، هر سه ضلع آن برابر است؛ بنابراین مثلث متساوی الاضلاع می باشد.

چون قبلا فکر کرده است عدد مضرب 3 و 7 است، پس از فهمیدن اشتباه، می توان نتیجه گرفت که عدد مضرب 3 و 7 نیست.

ریاضی نمی تواند گوشه سمت راست باشد، چرا که عربی باید سمت راست او باشد و این امکان ندارد. پیام نیز طبق متن نه در گوشه سمت چپ است و نه در سمت راست. اگر فرض کنیم عربی در گوشه سمت راست قرار دارد با توجه به فرضیات مسئله به چینش زیر می رسیم:

عربی، پیام، فارسی، ریاضی و علوم.

در شکل های محدب، همه زاوی های داخلی کمتر از 180 درجه و در شکل مقعر، حداقل یک زاویه داخلی بزرگ تر از 180 درجه وجود دارد. شکل سوم از سمت راست محدب و مابقی مقعر هستند.

زیرا یک زاویه بزرگ تر از 180 درجه دارد.

\(\left. \begin{array}{l}c = x + b\\\\x = a + a = 2a\end{array} \right\} \Rightarrow c = 2a + b\)

محل برخورد ارتفاع ها در مثلث قائم الزاویه بر روی راسی است که زاویه قائم دارد و روی محیط شکل می باشد.

مثال نقض آن در شکل زیر آمده است:

مساحت های هر دو مثلث برابر است، اما زاویه های داخلی مثلث با هم برابر نیست.

چون هر دو مثلث، قائم الزاویه هستند، دارای یک زاویه تند برابر (زاویه ساق)، یک وتر برابر (ساق برابر) و ضلع مشترک (ارتفاع وارد بر قاعده)، از هر سه حالت ((ض ز ض، ز ض ز، وتر و یک ضلع)) می توان به خواسته مسئله رسید.

در مثلث قائم الزاویه با زاویه 30 درجه، ضلع رو به رو زاویه 30 درجه نصف وتر است. همچنین ضلع رو به رو به زاویه 60 درجه نیز \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)  وتر می باشد:

\(\begin{array}{l}\overline {AE} = \sqrt {\overline {E{B^2}} - \overline {A{B^2}} } = \sqrt {{{(2x)}^2} - {x^2}} = \\\\ \Rightarrow \sqrt {4{x^2} - {x^2}} = \sqrt {3{x^2}} = \sqrt 3 x\\\\\frac{{AE}}{{BE}} = \frac{{\sqrt 3 x}}{{2x}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\\{S_{E\mathop A\limits^\Delta B}} = \frac{{EA \times AB}}{2} = \frac{{\sqrt 3 x \times x}}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{x^2} = \\\\16\sqrt 3 \Rightarrow {x^2} = 32 \Rightarrow x = 4\sqrt 2 \Rightarrow \overline {BE} = 2x = 8\sqrt 2 \end{array}\)

همچنین چون مثلث \(B\hat OC\)  متساوی الاضلاع است (چون زاویه مرکزی 60 درجه می باشد و دو ساق با هم برابرند؛ پس دو زاویه داخلی دیگه مثلث 60 درجه می باشد)

\(\begin{array}{l}BC = R\\\\{S_{A\mathop B\limits^\Delta C}} = \frac{{BC \times AH}}{2} = \frac{{R \times \frac{{\sqrt 3 }}{2}R}}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{R^2} = \\\\\frac{{\sqrt 3 }}{4}{(2)^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \times 4 = \sqrt 3 \end{array}\)

برای دیگر گزینه ها می توان مثال نقض برای رد آن ها آورد.

\(\begin{array}{l}AC = OC \Rightarrow {{\hat O}_1} = \hat A = 20^\circ \Rightarrow {{\hat C}_1} = {{\hat O}_1} + \hat A = \\\\20^\circ + 20^\circ = 40^\circ \\\\OC = OB \Rightarrow {{\hat C}_1} = \hat B = 40^\circ \\\\O\mathop A\limits^\Delta \,B:x = \hat A + \hat B \Rightarrow x = 40^\circ + 20^\circ \Rightarrow x = 60^\circ \end{array}\)

\(\begin{array}{l}{x^2} = {4^2} + {4^2} = 16 + 16 = 32 \Rightarrow x = 4\sqrt 2 \\\\OA = x + 4 = 4 + 4\sqrt 2 = 4(1 + \sqrt 2 )\end{array}\)

مساحت مثلث متساوی الاضلاع:

\(\begin{array}{l} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2} = 18\sqrt 3 \Rightarrow {a^2} = 72 \Rightarrow a = 6\sqrt 2 = \\\\ \Rightarrow TT' = a \Rightarrow TT' = 6\sqrt 2 \end{array}\)

درباره گزینه سوم، دو مثلث باید یا یک ضلع متناسب و دو زاویه برابر داشته باشد یا اینکه دو مثلث که دو ضلع متناسب با زاویه مساوی بین آن دو ضلع دارند.

مثلث اول، زاویه سوم:

\(180^\circ - (60^\circ + 50^\circ ) = 70^\circ \)

مثلث دوم، زاویه سوم:

\(180^\circ - (60^\circ + 70^\circ ) = 50^\circ \)

بنابراین هر زاویه دو مثلث برابر 50، 60 و 70 درجه می باشند؛ بنابراین دو مثلث حتما متشابه هستند.

\({7^{cm}} \times 50 = {3500^{cm}} \times \frac{{{1^m}}}{{{{100}^{cm}}}} = \frac{{3500}}{{100}} = {35^m}\)

\(\begin{array}{l}A{E^2} = {5^2} - {3^2} = 25 - 9 = 16 \Rightarrow AE = 4\\\\\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{ED}}{{BC}} \Rightarrow \frac{4}{{4 + 8}} = \frac{5}{{BC}} \Rightarrow BC = \frac{{5 \times 12}}{4} = \\\\\frac{{60}}{4} = 15\end{array}\)