نمونه سوالات تشریحی فصل 8 ریاضی نهم همراه با جواب تشریحی

\( = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3} \times 3 \times {(\frac{6}{2})^3} = 4 \times {3^3} = 4 \times 27 = 108\) حجم کره

\( = 4\pi {R^2} = 4 \times 3 \times {(\frac{6}{2})^2} = 12 \times 9 = 108\) مساحت کره

\( = \frac{{\frac{4}{3}\pi {R^3}}}{2} = \frac{2}{3} \times 3 \times {(\frac{6}{2})^3} = 54\) حجم نیم کره بزرگ

\( = \frac{{\frac{4}{3}\pi {R^3}}}{2} = \frac{2}{3} \times 3{(\frac{2}{3})^3} = 2\) حجم نیم کره خالی

\( = 54 - 2 = 52\) حجم نیم کره خالی - حجم نیم کره بزرگ=حجم نیم کره تو خالی

مساحت رویه + مساحت قاعده = مساحت کل نیم کره

\(\begin{array}{l}27\pi = \pi {R^2} + \frac{{4\pi {R^2}}}{2} = \pi {R^2} + 2\pi {R^2} = \\\\3\pi {R^2} \Rightarrow 27 = 3{R^2} \Rightarrow {R^2} = 9 \Rightarrow R = 3\end{array}\)

\( = \frac{{\frac{4}{3}\pi {R^3}}}{2} = \frac{2}{3}\pi {R^3} = \frac{2}{3}\pi \times {3^3} = 2\pi \times 9 = 18\pi \) حجم نیم کره

\(\frac{4}{3}\pi {R^3} = 36\pi \Rightarrow {R^3} = \frac{{36 \times 3}}{4} = 27 \Rightarrow R = 3\) =حجم کره

\(4\pi {R^2} = 4\pi {(3)^2} = 36\pi \) =مساحت کره

می دانیم که مکعب درون دایره ای محاط شده باشد، یعنی قطر مکعب برابر قطر کره می باشد. بنابراین:

\(\begin{array}{l}2R = \sqrt {2{{(\sqrt 3 )}^2} + {{(2\sqrt 3 )}^2} + {{(2\sqrt 3 )}^2}} = \\\\\sqrt {12 + 12 + 12} = \sqrt {36} = 6 \Rightarrow R = 3\end{array}\)

\( = 4\pi {R^2} = 4\pi {(3)^2} = 36\pi \) مساحت کره

حجم کره < مساحت کره

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4\pi {R^2} > \frac{4}{3}\pi {R^3} \Rightarrow {R^2} > \frac{{{R^3}}}{3}\\\\ \Rightarrow 3{R^2} > {R^3} \Rightarrow R < 3\end{array}\)

هنگامی که شعاع کره کوچک تر از مقدار 3 باشد، مساحت کره بیشتر از حجم آن از نظر عددی می شود.

مثلث ABC قاثم الزاویه است زیرا ضلع آن 3، 4 و 5 می باشد؛ بنابراین داریم:

\( = \frac{1}{3} \times {S_{A\mathop B\limits^\Delta C}} \times OH = \frac{1}{3} \times \frac{{AB \times AC}}{2} \times OH = \) حجم هرم

\(\frac{1}{3} \times \frac{{4 \times 3}}{2} \times 8\)

16=حجم هرم

\( = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi \times {(6)^2} \times 24\) حجم مخروط

\( \Rightarrow \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{1}{3}\pi \times ({6^2}) \times 24\) حجم مخروط = حجم کره

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4\pi {R^3} = \pi \times {6^2} \times 24 \Rightarrow {R^3} = {6^2} \times 6 = {6^3}\\\\ \Rightarrow R = 6\end{array}\)

\( = \frac{1}{3}\pi {r_1}^2{h_1}\) حجم مخروط اول

\( = \frac{1}{3}\pi {r_2}^2{h_2}\) حجم مخروط جدید

\(\begin{array}{l}{r_2} = 2{r_1}\\\\{h_2} = \frac{1}{4}{h_1}\end{array}\)

\( = \frac{1}{3}\pi {r_2}^2{h_2}\) حجم مخروط جدید

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{3}\pi {r_2}^2{h_2} = \frac{1}{3}\pi {(2{r_1})^2} \times (\frac{1}{4}{h_1}) = \\\\\frac{1}{3}\pi (4{r_1}^2) \times (\frac{1}{4}{h_1}) = \frac{1}{3}\pi {r_1}^2{h_1}\end{array}\)

حجم مخروط جدید = حجم مخروط اول

بنابراین حجم مخروط جدید تغییری نمی کرد!

(مجموع حجم مخروط ها) – حجم استوانه = حجم مورد نظر

\( = \pi {r^2}H = 3 \times 4{}^2 \times 6 = 288\) حجم استوانه

\( = \frac{1}{3}\pi {r^2}{h_1} = \frac{1}{3} \times 3 \times {4^2} \times 4 = 64\) حجم مخروط بالایی

\( = \frac{1}{3}\pi {r^2}{h_2} = \frac{1}{3} \times 3 \times {4^2} \times 2 = 32\) حجم مخروط پایینی

\( = 288 - (64 + 32) = 288 - 96 = 192\) حجم مورد نظر

ابتدا شکل را می کشیم:

\( = 48 = 2\pi r \Rightarrow 2 \times 3 \times r = 48 \Rightarrow r = 8\) محیط قاعده مخروط

\(h = \sqrt {{{10}^2} - {r^2}} = \sqrt {100 - 64} = \sqrt {36} = 6\)

\( = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3} \times 3 \times {8^2} \times 6 = 64 \times 6 = 384\) حجم مخروط

الف)

ب)

\( = \frac{{\frac{4}{3}\pi {R^2}}}{2} = \frac{2}{3}\pi {R^2} = \frac{2}{3} \times 3 \times {(4)^2} = 32\) حجم نیم کره

\( = \pi {r^2}h = 3 \times {(2)^2} \times 2 = 24\) حجم استوانه

\( = 32 + 24 = 56\) حجم کل

ابتدا محیط ربع دایره را محاسبه می کنیم تا محیط قاعده مخروط بدست آید؛ سپس شعاع قاعده مخروط را محاسبه می کنیم (r) و سپس ارتفاع مخروط (h) را بدست می آوریم:

\( = \frac{1}{4}(2\pi R) = \frac{{\pi R}}{2} = \frac{{3 \times 16}}{2} = 24\) محیط ربع دایره

\( = 24 \Rightarrow 2\pi r = 24 \Rightarrow 6r = 24 \Rightarrow r = 4\) محیط قاعده مخروط

\(\begin{array}{l}{h^2} + {4^2} = {16^2} \Rightarrow {h^2} + 16 = 256 \Rightarrow {h^2} = 240\\\\ \Rightarrow h = 4\sqrt {15} \end{array}\)

\( = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3} \times 3 \times {4^2} \times 4\sqrt {15} = 64\sqrt {15} \) حجم مخروط

با 240 درجه دوران دادن نیم دایره حول قطرش، \(\frac{2}{3}\)  حجم یک کره کامل ساخته می شود \((\frac{{240^\circ }}{{360^\circ }} = \frac{2}{3})\) :

\(\overline V = \frac{2}{3} \times \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{8}{9} \times 3 \times {6^3} = 576\)

حجم

هندسی – غیر هندسی

منشور

دایره

مرکز – کره

\(V = \frac{1}{3}Sh\)

ثلث \((\frac{1}{3})\)

سهم هرم

مخروط

\({a^2}\,\,\,\,\, - \,\,\,\,\,\,\,{a^3}\)

مخروط

قطاع

\({a^3}\sqrt 3 \)

استوانه

نیم کره

یک

15 – 10