نمونه سوالات تستی فصل 8 ریاضی نهم همراه با جواب تشریحی

اگر مکعبی به ضلع a داشته باشیم، قطر آن برابر با \(a\sqrt 3 \)  است (این رابطه به کمک رابطه فیثاغورس قابل اثبات است.)

\( = 4\pi {(6)^2} + 4\pi ({8^2}) = 4\pi ({6^2} + {8^2}) = 4\pi \times 100 = 400\pi \) مساحت کره بزرگ

\( = \sqrt {\frac{{400\pi }}{{4\pi }}} = \sqrt {100} = 10\) شعاع کره بزرگ

\(\begin{array}{l}V = \frac{4}{3}\pi {R^3} \Rightarrow {R^3} = \frac{{3V}}{{4\pi }} \Rightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{{3V}}{{4\pi }}}}\\\\S = 4\pi {R^2} = 4\pi \sqrt[3]{{{{(\frac{{3V}}{{4\pi }})}^2}}} = \sqrt[3]{{{{(4\pi )}^3} \times {{(\frac{{3V}}{{4\pi }})}^2}}} = \\\\\sqrt[3]{{4\pi {{(3V)}^2}}} = \sqrt[3]{{36\pi {V^2}}}\end{array}\)

می دانیم در هر کره به شعاع R، نسبت حجم به مساحت (از نظر عددی)، همیشه برابر با \(\frac{R}{3}\)  است. R را به گونه ای بدست می آوریم تا نسبت برابر یک شود:

\(\frac{R}{3} = 1 \Rightarrow R = 3\)

فرض کنیم طول ضلع مکعب 1 می باشد؛ در نتیجه حجم مکعب نیز 1 می باشد؛ داریم:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}S = M{N^2}\\\\MN = \sqrt {{{(\frac{1}{2})}^2} + {{(\frac{1}{2})}^2}} = \sqrt {\frac{2}{4}} = \sqrt {\frac{1}{2}} = \sqrt {\frac{2}{2}} \end{array} \right.\\\\ \Rightarrow S = {(\frac{{\sqrt 2 }}{2})^2} = \frac{1}{2}\\\\V = \frac{1}{3}S \times h = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{6}\\\\ \Rightarrow \frac{{\frac{1}{6}}}{1} = \frac{1}{6}\end{array}\)

ارتفاع هر مخروط 20 و شعاع قاعده آن ها 4 می باشد:

\( = \frac{1}{3} \times \pi {(4)^2} \times 20 = \frac{1}{3} \times 3 \times 16 \times 20 = 320\) حجم مخروط بالایی

زمان لازم برای خارج شدن کل شن از داخل مخروط بالایی:

8 ساعت و 53 دقیقه و 20 ثانیه=ثانیه\(\frac{{320}}{{0/01}} = 32000\)

حجم استوانه – حجم مکعب = حجم جسم جدید

\(10 \times 10 \times 10 = \pi {(\frac{{2/4}}{2})^2} \times 10 = 1000 - 43/2 = 956/8\)

برای محاسبه حجم مخروط بایستی ارتفاع مخروط را بدست آوریم:

\(\begin{array}{l}h = OA + OH = 10 + OH\\\\O{H^2} = {10^2} - {6^2} = 100 - 36 = 64 \Rightarrow OH = 8\\\\ \Rightarrow h = 18\\\\V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3} \times 3 \times {6^2} \times 18 = 36 \times 18 = 648\end{array}\)

شکل زیر را در نظر بگیرید:

شعاع قاعده استوانه با شعاع کره برابر و ارتفاع استوانه 2 برابر شعاع کره می باشد؛ بنابراین:

این هرم از چهار وجه یکسان متساوی الاضلاع تشکیل شده است، بنابراین با محاسبه مساحت یکی از مثلث ها، می توان مساحت کل هرم را محاسبه نمود:

\(\begin{array}{l}{h^2} + {(\sqrt 3 )^2} = {(2\sqrt 3 )^2} \Rightarrow {h^2} = 12 - 3 = 9\\\\ \Rightarrow h = 3\\\\S = \frac{{2\sqrt 3 \times 3}}{2} = 3\sqrt 3 \end{array}\)

در این صورت مساحت کل هرم برابر است با \((4 \times 3\sqrt 3 )12\sqrt 3 \)

از به هم پیوستن این شکل گسترده، یک هرم منتظم با قاعده مثلث متساوی الاضلاع به ضلع \(2\sqrt 3 \)  خواهیم داشت؛ بنابراین:

برای محاسبه ارتفاع هرم (که بر روی مرکز مثلث قاعده می افتد) بایستی، سهم هرم را داشته باشیم و فاصله مرکز مثلث قاعده هرم تا سهم هرم را بیابیم ( سهم هرم: فاصله راس هرم تا یکی از اضلاع قاعده هرم)؛ داریم:

فاصله مرکز قاعده تا سهم هرم، اگر قاعده هرم مثلث متساوی الاضلاع باشد، نصف ارتفاع قاعده می شود؛ بنابراین:

و چون همه وجه های هرم، مثلث متساوی الاضلاع است، سهم هرم نیز ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع می باشد؛ بنابراین برای محاسبه ارتفاع هرم داریم:

\({H^2} = {h^2} - {(\frac{h}{2})^2} = {h^2} - \frac{{{h^2}}}{4} = \frac{{3{h^2}}}{4} \Rightarrow H = \frac{{\sqrt 3 }}{2}h\)

و در مثلث متساوی الاضلاع به ضلع a داریم:

\(h = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\)

در نتیجه:

\(\begin{array}{l}H = \frac{{\sqrt 3 }}{2}h = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \times \frac{{\sqrt 3 }}{2}a = \frac{3}{4}a = \\\\\frac{3}{4} \times 2\sqrt 3 = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)

در نتیجه حجم هرم برابر است با:

\(V = \frac{1}{3}H.S = \frac{1}{3} \times \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \times S = \frac{{\sqrt 3 }}{2}S\)

S نیز مساحت مثلث متساوی الاضلاع به ضلع \(2\sqrt 3 \)  می باشد:

\(S = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4} \times {(2\sqrt 3 )^2} = 3\sqrt 3 \)

در نهایت:

\(V = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \times 3\sqrt 3 = \frac{9}{2} = 4/5\)

حجم حاصل از دوران ربع دایره، نیم کره می شود؛ بنابراین بایستی حجم نیم کره ای به شعاع 5 را محاسبه کنیم:

\(\frac{{\frac{4}{3}\pi {{(5)}^3}}}{2} = \frac{{\frac{4}{3} \times 3 \times 125}}{2} = 250\)

از دوران مثلث قائم الزاویه حول یکی از اضلاع قائمه اش، مخروط بدست می آید. برای محاسبه حجم مخروط، بایستی ارتفاع و شعاع را داشته باشیم که هر دو نیز 5 هستند:

\(\frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3} \times \pi {(5)^2} \times 5 = \frac{1}{3} \times 3 \times 25 \times 5 = 125\)

در نهایت حجم شکل حاصل از دوران قسمت رنگی برابر خواهد بود با:

حجم مخروط – حجم نیم کره = حجم شکل دوران یافته

\(250 - 125 = 125\)

از دوران ذوزنقه حول ضلع بالایی، شکل زیر بدست می آید:

حجم خروط – حجم استوانه = حجم شکل حاصل

\( = \pi {r^2}H = \pi \times {2^2} \times 5 = 20\pi \) حجم استوانه

\( = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3} \times \pi \times {2^2} \times 2 = \frac{8}{3}\pi \) حجم مخروط

\( = 20\pi - \frac{8}{3}\pi = \frac{{52}}{3}\pi \) حجم شکل حاصل

طول کمان ABC همان محیط دایره قاعده مخروط است:

حال ارتفاع مخروط را بدست می آوریم:

\(\begin{array}{l}{H^2} = {12^2} - {8^2} = 144 - 64 = 80\\\\ \Rightarrow H = \sqrt {80} = 4\sqrt 5 \end{array}\)

در این صورت حجم مخروط برابر است با:

\(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3} \times 3 \times {8^2} \times 4\sqrt 5 = 256\sqrt 5 \)