جواب تمرین صفحه 151 درس 7 ریاضی یازدهم تجربی (آمار و احتمال)

ابتدا احتمال رخ دادن هر پیشامد را محاسبه می کنیم:

\(\begin{array}{l}A = \left\{ {2\:,\:4\:,\:6} \right\} \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\\\\B = \left\{ {3\:,\:6} \right\} \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\\\\C = \left\{ {3\:,\:4\:,\:5\:,\:6} \right\} \Rightarrow P\left( C \right) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\end{array}\)

احتمال ظاهر شدن عدد زوج به شرط ظاهر شدن مضرب 3:

\(\begin{array}{l}A \cap B = \left\{ 6 \right\} \Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{6}\\\\ \Rightarrow P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{1}{6}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{2}\\\\ \Rightarrow P\left( {\left. A \right|B} \right) = P\left( A \right)\end{array}\)

پیشامد A مستقل از پیشامد B می باشد.

احتمال ظاهر شدن عدد زوج به شرط ظاهر شدن عددی بزرگ تر از 2:

\(\begin{array}{l}A \cap C = \left\{ {4\:,\:6} \right\} \Rightarrow P\left( {A \cap C} \right) = \frac{1}{3}\\\\ \Rightarrow P\left( {\left. A \right|C} \right) = \frac{{P\left( {A \cap C} \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{2}\\\\ \Rightarrow P\left( {\left. A \right|C} \right) = P\left( A \right)\end{array}\)

پیشامد A مستقل از پیشامد C می باشد

پشت : p

ظاهر شدن رو : r

\(\begin{array}{l}S{\rm{ }} = \left\{ {\left( {r,r,r} \right),\left( {r,r,p} \right),\left( {r,p,r} \right),} \right.\\\\\left( {r,p,p} \right),\left( {p,r,r} \right),\left( {p,r,p} \right),\\\\\left. {\left( {p,p,r} \right),\left( {p,p,p} \right)} \right\}\end{array}\) 

احتمال رو شدن سکه در پرتاب سوم:

\(\begin{array}{l}A = \left\{ {\left( {r\:,\:r\:,\:r} \right)\:,\:\left( {r\:,\:p\:,\:r} \right)\:,\:} \right.\\\\\left. {\left( {p\:,\:r\:,\:r} \right)\:,\:\left( {p\:,\:p\:,\:r} \right)} \right\}\\\\ \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\end{array}\)

احتمال پشت شدن سکه در پرتاب اول و دوم:

\(\begin{array}{l}B = \left\{ {\left( {p\:,\:p\:,\:r} \right)\:,\:\left( {p\:,\:p\:,\:p} \right)} \right\}\\\\ \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\\\\ \Rightarrow P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{1}{2}\end{array}\)

احتمال رو شدن سکه در پرتاب سوم به شرط پشت شدن سکه در پرتاب اول و دوم:

\(P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{1}{2}\)

الف چون پیشامدهای A و B مستقل اند، داریم:

 \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \times P\left( B \right)\)

می خواهیم ثابت کنیم :

\(P\left( {A' \cap B} \right) = P\left( {A'} \right) \times P\left( B \right)\)

داریم:

\(\begin{array}{l}P\left( {A'} \right) \times P\left( B \right) = \\\\\left( {1 - P\left( A \right)} \right) \times P\left( B \right) = \\\\P\left( B \right) - P\left( A \right) \times P\left( B \right) = \\\\P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right) = \\\\P\left( {B - A} \right) = \\\\P\left( {B \cap A'} \right) = P\left( {A' \cap B} \right)\end{array}\)

ب می خواهیم ثابت کنیم :

\(P\left( {A' \cap B'} \right) = P\left( {A'} \right) \times P\left( {B'} \right)\)

داریم:

\(\begin{array}{l}P\left( {A'} \right) \times P\left( {B'} \right) = \\\\\left( {1 - P\left( A \right)} \right) \times \left( {1 - P\left( B \right)} \right) = \\\\1 - P\left( A \right) - P\left( B \right) + P\left( A \right) \times P\left( B \right) = \\\\1 - \left( {P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)} \right) = \\\\1 - P\left( {A \cup B} \right) = \\\\P\left( {{{\left( {A \cup B} \right)}^\prime }} \right) = P\left( {A' \cap B'} \right)\end{array}\)

A : انتخاب در تیم کوهنوردی

B : انتخاب در تیم ملی فوتبال نوجوانان

الف باید  را بدست آوریم و چون پیشامدهای A و B مستقل از یکدیگرند، داریم:

\(\begin{array}{l}P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \times P\left( B \right) = \\\\0/7 \times 0/8 = 0/56\end{array}\)

ب باید  را بدست آوریم و چون پیشامدهای A’ و B’ مستقل از یکدیگرند، داریم:

\(\begin{array}{l}P\left( {A'} \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0/7 = 0/3\\\\P\left( {B'} \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0/8 = 0/2\\\\P\left( {A' \cap B'} \right) = P\left( {A'} \right) \times P\left( {B'} \right) = \\\\0/3 \times 0/2 = 0/06\end{array}\)

پ باید  را بدست آوریم، پس داریم:

\(\begin{array}{l}P\left( {B - A} \right) = P\left( {B \cap A'} \right) = \\\\P\left( B \right) \times P\left( {A'} \right) = 0/8 \times 0/3 = \\\\0/24\end{array}\)

ت باید  را بدست آوریم، پس داریم:

\(\begin{array}{l}P\left( {A - B} \right) = P\left( {A \cap B'} \right) = \\\\P\left( A \right) \times P\left( {B'} \right) = 0/7 \times 0/2 = \\\\0/14\\\\ \Rightarrow P\left( {B - A} \right) + P\left( {A - B} \right) = 0/38\end{array}\)

ث باید  را بدست آوریم، پس داریم:

\(\begin{array}{l}P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right) = \\\\0/7 + 0/8 - 0/56 = 0/94\end{array}\)

A : پیشامد قبول شدن رؤیا در درس ریاضی

B : پیشامد قبول شدن دوستش در درس ریاضی

\(\begin{array}{l}P\left( {A \cup B} \right) = 0/625\\\\P\left( A \right) = 2\,P\left( B \right)\\\\P\left( A \right) = ?\end{array}\)

 چون دو پیشامد از هم مستقل هستند، داریم:

\(\begin{array}{l}P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \times P\left( B \right)\\\\P\left( A \right) = 2\,P\left( B \right)\\\\ \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{1}{2}P\left( A \right)\\\\ \Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{2}{\left( {P\left( A \right)} \right)^2}\\\\P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)\\\\P\left( A \right) = x \Rightarrow 0 \le x \le 1\,\,\,(I)\\\\ \Rightarrow 0/625 = x + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}{x^2}\\\\ \Rightarrow {x^2} - 3x + 1/25 = 0\\\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = 2/5}\\{{x_2} = 0/5}\end{array}} \right.\,\,\,(II)\\\\(I)\,,\,(II) \Rightarrow x = 0/5\\\\ \Rightarrow P\left( A \right) = 0/5\end{array}\)

A : هر دو عدد رو شده زوج باشد

B : مجموع هر دو عدد رو شده 8 باشد

\(\begin{array}{l}B = \left\{ {\left( {2\:,\:6} \right)\:,\:\left( {6\:,\:2} \right)\:,\:\left( {5\:,\:3} \right)\:,} \right.\\\\\left. {\left( {3\:,\:5} \right)\:,\:\left( {4\:,\:4} \right)} \right\}\\\\ \Rightarrow n\left( B \right) = 5\\\\A \cap B = \left\{ {\left( {2\:,\:6} \right)\:,\:\left( {6\:,\:2} \right)\:,\:\left( {4\:,\:4} \right)} \right\}\\\\ \Rightarrow n\left( {A \cap B} \right) = 3\\\\ \Rightarrow P\left( {\left. A \right|B} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( B \right)}} = \frac{3}{5}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}P\left( A \right) = \frac{1}{5}\\\\P\left( B \right) = \frac{1}{7}\\\\P\left( {\left. B \right|A} \right) = \frac{1}{4}\end{array} \right\} \Rightarrow P\left( {A \cup B} \right) = ?\\\\P\left( {\left. B \right|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\\\\ \Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{\frac{1}{5}}}\\\\ \Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{{20}}\\\\P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right) = \\\\\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{{20}} = \frac{{41}}{{140}}\end{array}\)