جواب فعالیت صفحه 137 درس 6 ریاضی دهم (شمارش، بدون شمردن)

هر مجموعه n عضوی دارای یک زیرمجموعه هیچ عضوی به نام تهی است؛ بنابراین: \(\left( \begin{array}{l}n\\0\end{array} \right) = 1\)

\(\left( {\begin{array}{*{20}{l}}n\\0\end{array}} \right) = \frac{{n!}}{{0! \times \left( {n - 0} \right)!}} = \frac{{n!}}{{1 \times n!}} = 1\)

هر مجموعه n عضوی دارای n زیرمجموعه یک است؛ بنابراین: \(\left( {\begin{array}{*{20}{l}}n\\1\end{array}} \right) = n\)

\(\left( {\begin{array}{*{20}{l}}n\\1\end{array}} \right) = \frac{{n!}}{{1! \times \left( {n - 1} \right)!}} = \frac{{n!}}{{1 \times \left( {n - 1} \right)!}} = n\)

الف 10 حالت امکان پذیر است.

ب جواب، برعکس حالت (الف)، ستون سمت راست می باشد. بنابراین در این مورد نیز 10 انتخاب دارد.

پ این دو انتخاب با هم برابرند؛ زیرا تعداد حالات انتخاب 3 نفر از 5 نفر به این معناست که 2 نفر از 5 نفر انتخاب نشوند.

ت تعداد انتخاب r نفر از n نفر به این معناست که بقیه افراد (یعنی r-n نفر) را انتخاب نکنیم؛ بنابراین: \(\left( \begin{array}{l}n\\r\end{array} \right) = \left( \begin{array}{l}\;\;n\\n - r\end{array} \right)\)

اثبات به کمک فرمول :

\(\left( {\begin{array}{*{20}{l}}{\;\;n}\\{n - r}\end{array}} \right) = \frac{{n!}}{{\left( {n - r} \right)!\left( {n - \left( {n - r} \right)} \right)!}} = \frac{{n!}}{{\left( {n - r} \right)!r!}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}n\\r\end{array}} \right)\)

الف \(\left( \begin{array}{l}26\\\,5\end{array} \right)\)

ب \(\left( \begin{array}{l}25\\\,4\end{array} \right)\)

پ \(\left( \begin{array}{l}25\\\,5\end{array} \right)\)

ت \(\left( \begin{array}{l}26\\\,5\end{array} \right) = \left( \begin{array}{l}25\\\,4\end{array} \right) + \left( \begin{array}{l}25\\\,5\end{array} \right)\)

الف \(\left( \begin{array}{l}n\\r\end{array} \right)\)

ب \(\left( \begin{array}{l}n - 1\\r - 1\end{array} \right)\)

پ \(\left( \begin{array}{l}n - 1\\\;\;r\end{array} \right)\)

ت \(\left( \begin{array}{l}n\\r\end{array} \right) = \left( \begin{array}{l}n - 1\\r - 1\end{array} \right) + \left( \begin{array}{l}n - 1\\\;\;r\end{array} \right)\)