شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | ریشه و توان اعداد حقیقی](https://dl2.my-dars.com/upload/image/01 (8)1738583460.jpg)
فرض کنیم \(n \ge 2\) عددی طبیعی باشد.دراین صورت عدد حقیقی b را یک ریشه n ام عدد حقیقی a گوییم هرگاه \({b^n} = a\) باشد.
اگر n زوج باشد عدد حقیقی و مثبت a دارای دو ریشه n ام می باشد که قرینه یکدیگرند. در این حالت ریشه n ام مثبت را ریشه n ام اصلی می نامیم و با نماد \(\sqrt[n]{a}\) نشان می دهیم. اعداد منفی دارای ریشه n ام زوج نیستند ولی ریشه n ام فرد دارند.
مثال
کامل کنید.
الف \(\sqrt[3]{{64}} = \)
\(\sqrt[3]{{64}} = 4\)
ب \(\sqrt[4]{{0/0625}} = \)
\(\sqrt[4]{{0/0625}} = 0/5\)
مهمترین خواص رادیکال ها در زیر فهرست کرده ایم.
1) \(\sqrt[n]{{{a^n}}} = a\)
در 1 اگر n زوج باشد قدر مطلق a را می نویسیم.
2) \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{ab}},a,b \in \mathbb{N}\)
3) \(\frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{{\frac{a}{b}}}\)
4) \({\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}} \to m,n \in \mathbb{N},a \ge 0\)
5) \(\sqrt[n]{{\sqrt[m]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a} \to m,n \in \mathbb{N},a \ge 0\)
6) \(a\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{{a^n}b}}, - \sqrt[n]{{{a^n}b}}\)
7) \(\sqrt[{mn}]{{{a^m}}} = \sqrt[n]{a} \to a\rangle 0,m,n \in \mathbb{N}\)
بدون استفاده از ماشین حساب می توان مقدار تقریبی (اما با دقت بالا) رادیکال ها را بدست آورد.
\(\sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{{{a^n} \pm b}} \approx a \pm \frac{b}{{n{a^{n - 1}}}}\)
1 برای هر عدد رادیکالی زیر، اگر حاصل آن یک عدد صحیح است، جواب را بنویسید و در غیر اینصورت دو عدد صحیح متوالی بنویسید که عدد رادیکالی مورد نظر بین آنها باشد.
الف \(\sqrt[4]{{400}} = \)
\(\sqrt[4]{{400}} \to \sqrt[4]{{256}}\langle \sqrt[4]{{400}}\langle \sqrt[4]{{625}} = 4\langle \sqrt[4]{{400}}\langle 5\)
ب \(\sqrt {75} = \)
\(\sqrt {75} \to \sqrt {64} \langle \sqrt {75} \langle \sqrt {81} = 8\langle \sqrt {75} \langle 9\)
پ \(\sqrt[3]{{250}} = \)
\(\sqrt[3]{{250}} \to \sqrt[3]{{216}}\langle \sqrt[3]{{250}}\langle \sqrt[3]{{343}} = 6\langle \sqrt[3]{{250}}\langle 7\)
2 اگر \(\sqrt[4]{{625}} = a\) باشد، در این صورت حاصل عبارت \({a^3} + 5a - 6\) را بیابید.
\(\begin{array}{l}\sqrt[4]{{625}} = a \to a = 5\\ \to {5^3} + 5\left( 5 \right) - 6 \to 125 + 25 - 6 = 144\end{array}\)
3 مقدار تقریبی هر کدام از اعداد رادیکالی زیر را با یک رقم اعشار مشخص کنید.
الف \(\sqrt {10} \)
\(\sqrt {10} = 3/1\)
ب \(\sqrt[3]{{7/25}}\)
\(\sqrt[3]{{7/25}} = 1/8\)
پ \(\sqrt[5]{{16}}\)
\(\sqrt[5]{{16}} = 1/7\)
4 مثالی ارائه دهید که نشان دهد تساوی زیر همیشه درست نیست.
\(\sqrt[n]{{{a^n}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^n}\)
\(\begin{array}{l}\sqrt[n]{{{a^n}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^n}\\\sqrt[4]{{{{\left( { - 2} \right)}^4}}} = {\left( {\sqrt[4]{{ - 2}}} \right)^4}\end{array}\)
تهیه کننده: فرهاد صمدی
1736019749.png)
