عبارت های جبری

یک تساوی که به ازای تمامی مقادیر متغیر موجود در آن تساوی درست باشد را یک اتحاد گوییم. به تساوی زیر دقت کنید.

\({\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2}\)

در تساوی بالا به ازای تمامی مقادیر x ,y درست است و لذا به آن اتحاد گوییم . از کلاس نهم با برخی اتحادها آشنا شده اید. در اینجا آن اتحادها را بازنویسی می کنیم.

حال آماده هستیم تا چند اتحاد جدید معرفی کنیم. اولین اتحاد ، اتحاد مربع سه جمله ای است. یعنی هدف یافتن حاصل\({\left( {x + y} \right)^3}\) است. به کمک اتحادهای بالا عبارت فوق را تا سرحد امکان ساده می کنیم.

\(\begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^3} = {\left( {x + y} \right)^2} \times \left( {x + y} \right)\\ = \left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) \times \left( {x + y} \right)\\ = {x^3} + {x^2}y + 2{x^2}y + 2x{y^2} + {y^2}x + {y^3}\\ = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}\end{array}\)

بنابراین نتیجه حاصل بصورت زیر بدست می آید:

\({\left( {x + y} \right)^3} = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}\)

اگر در رابطه فوق \({\left( {x - y} \right)^3}\) رابطه زیر حاصل می شود:

\({\left( {x - y} \right)^3} = {x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3}\)

در نهایت اگر از xy در جملات دوم و سوم فاکتور بگیریم خواهیم داشت:

\(\begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right)\\{x^3} - {y^3} = {\left( {x - y} \right)^3} + 3xy\left( {x - y} \right)\end{array}\)

اتحاد مجموع و تفاضل مکعبات نیز به صورت زیر حاصل می شود:

\(\begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)\\{x^3} - {y^3} = \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\\\end{array}\)

کاربرد تجزیه در یافتن ب م م و ک م م چندجمله ای ها

یک چندجمله ای مثل \(a + b\) را در نظر بگیرید. اگر این دو جمله ای را در اعداد صحیح یا هر چندجمله ای دیگری ضرب کنیم ، حاصل را مضربی از \(a + b\) گوییم. پس عبارات زیر همگی مضارب \(a + b\) هستند.

\(2\left( {a + b} \right),\left( {{a^2} - {b^2}} \right),\left( {{a^3} - {b^3}} \right),...\)

همچنین عبارت \(a + b\) مقسوم علیه مشترک هر سه عبارت فوق است. بطور کلی برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک و کوچکترین مضرب مشترک دو عبارت جبری ابتدا آنها راتجزیه کرده و سپس برای ب م م عوامل مشترک با کمترین توان در تجزیه را منظور می کنیم و برای ک م م هم عوامل مشترک را با بزرگترین توان در عوامل غیر مشترک ضرب می کنیم. به عنوان یک مثال ساده فرض کنید هدف یافتن ب م م و ک م م دو عبارت جبری \({a^2} - {b^2},{a^3} - {b^3}\) است. با تجزیه کردن آنها داریم:

\(\begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\\{a^3} - {b^3} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\end{array}\)

پس با این حساب ب م م برابر \(a - b\) است و ک م م برابر \(\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\). یکی از فواید محاسبه ک م م در مخرج مشترک گرفتن برای جمع و تفریق عبارات گویاست.