شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | قضیه محاسبه طول نیم ساز ها](https://dl2.my-dars.com/upload/image/061744012429.jpg)
در هر مثلث، مربع اندازه هر نیم ساز داخلی برابر است با حاصل ضرب اندازه دو ضلع زاویه، منهای حاصل ضرب اندازه ی دو قطعه ای که نیم ساز روی ضلع مقابل ایجاد می کند.
حکم: \(A{D^2} = AB \times AC - BD \times DC\)
ابتدا دایره محیطی مثلث ABC را رسم می کنیم و نیم ساز AD را امتداد می دهیم تا دایره محیطی را در نقطه E قطع کند.
\(\begin{array}{l}AD \Rightarrow {{\hat A}_1} = {{\hat A}_2}\\\\\hat B = \hat E = \frac{{AC}}{2}\\\\\mathop {ABD}\limits^\Delta \sim \mathop {AEC}\limits^\Delta \Rightarrow \frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{BD}}\\\\ \Rightarrow \frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AB}} \Rightarrow AB \times AC = AD \times AE\\\\ \Rightarrow AE = AD + DE\\\\ \Rightarrow AB \times AC = AD\left( {AD + DE} \right)\\\\ \Rightarrow AB \times AC = A{D^2}AD \times AE\\\\ \Rightarrow AD \times AE = BD \times DC\\\\ \Rightarrow AB \times AC = A{D^2}BD \times DC\\\\ \Rightarrow A{D^2} = AB \times AC - BD \times DC\end{array}\)
در مثلث ABC، \(AB = 7\) ، \(AC = 5\) و \(BC = 10\) است؛ طول نیم ساز زاویه داخلی C را بدست آورید.
\(\begin{array}{l}\frac{{CA}}{{CB}} = \frac{{AD}}{{BD}} \Rightarrow \frac{5}{{10}} = \frac{{AD}}{{BD}} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{x}{{7 - x}}\\\\ \Rightarrow 2x = 7 - x \Rightarrow x = \frac{7}{3} \Rightarrow AD = \frac{7}{3}\\\\BD = 7 - \frac{7}{3} = \frac{{14}}{3}\\\\C{D^2} = CA \times CB - AD \times BD\\\\ \Rightarrow C{D^2} = 5 \times 10 - \frac{7}{3} \times \frac{{14}}{3} = 50 - \frac{{98}}{9} = \frac{{352}}{9}\\\\ \Rightarrow CD = \frac{{\sqrt {352} }}{3}\end{array}\)
تهیه کننده: امیرحسین مطلبی
1736019749.png)
