قضیه کسینوس ها

از قبل می دانیم در مثلث قائم الزاویه با داشتن دو ضلع قائمه از رابطه فیثاغورس می توان ضلع سوم را بدست آورد.

رابطه فیثاغورس: \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

در هر مثلث، مربع اندازه هر ضلع برابر است با مجموع مربع های اندازه های دو ضلع دیگر منهای دو برابر حاصل ضرب آنها در کسینوس زاویه بین آنها.

\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\\\\{b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac{\mathop{\rm Cos}\nolimits} B\\\\{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab{\mathop{\rm Cos}\nolimits} C\end{array}\)

اثبات

رابطه اول را ثابت می کنیم دو رابطه دیگر به طور مشابه اثبات می شوند.

حالت اول در مثلث ABC زاویه \(\hat A < {90^0}\)

\(\begin{array}{l}\mathop {ABH}\limits^\Delta :{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A = \frac{{AH}}{c} \Rightarrow AH = c \times {\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\\\\CH = b - AH \Rightarrow CH = b - c{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\\\\{\mathop{\rm Sin}\nolimits} A = \frac{{BH}}{c} \Rightarrow BH = c \times {\mathop{\rm Sin}\nolimits} A\\\\{a^2} = B{H^2} + C{H^2}\\\\ \Rightarrow {a^2} = {\left( {c \times {\mathop{\rm Sin}\nolimits} A} \right)^2} + {\left( {b - c{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A} \right)^2}\\\\{a^2} = {c^2}{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} ^2}A + {b^2} - 2bc{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A + {c^2}{{\mathop{\rm Cos}\nolimits} ^2}A\\\\{a^2} = {c^2}\left( {{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} }^2}A + {{{\mathop{\rm Cos}\nolimits} }^2}A} \right) + {b^2} - 2bc{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\\\\{a^2} = {c^2} + {b^2} - 2bc{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\end{array}\)

حالت دوم در مثلث ABC زاویه \(A > {90^0}\)  باشد.

\(\begin{array}{l}{A_1} = 180 - A\\\\ \Rightarrow {\mathop{\rm Sin}\nolimits} {A_1} = {\mathop{\rm Sin}\nolimits} \left( {180 - A} \right) = {\mathop{\rm Sin}\nolimits} A\\\\ \Rightarrow {\mathop{\rm Cos}\nolimits} {A_1} = {\mathop{\rm Cos}\nolimits} \left( {180 - A} \right) = - {\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\\\\{\mathop{\rm Cos}\nolimits} {A_1} = \frac{{AH}}{C} \Rightarrow AH = c \times {\mathop{\rm Cos}\nolimits} {A_1}\\\\ \Rightarrow AH = - c \times {\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\\\\ \Rightarrow CH = b - c{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\\\\ \Rightarrow BH = c \times {\mathop{\rm Sin}\nolimits} A\\\\B{C^2} = B{H^2} + C{H^2}\\\\{a^2} = {\left( {C{\mathop{\rm Sin}\nolimits} A} \right)^2} + {\left( {b - c{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A} \right)^2}\\\\{a^2} = {c^2}{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} ^2}A + {b^2} - 2bc{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A + {c^2}{{\mathop{\rm Cos}\nolimits} ^2}A\\\\{a^2} = {c^2}\left( {{{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} }^2}A + {{{\mathop{\rm Cos}\nolimits} }^2}A} \right) + {b^2} - 2bc{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\\\\ \Rightarrow {a^2} = {c^2} + {b^2} - 2bc{\mathop{\rm Cos}\nolimits} A\end{array}\)