شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | استفاده از قواعد بخش پذیری اعداد اول](https://dl.my-dars.com/upload/image/0502-11697904058.jpg)
یکان عدد زوج باشد.
جمع رقم ها مضرب ۳ باشد.
دو برابر دهگان را با یکان جمع می کنیم و باقیمانده ی تقسیم عدد حاصل بر ۴ را به دست می آوریم. اگر باقیمانده صفر شد. عدد بر ۴ بخش پذیر است.
باقیمانده تقسیم عدد 14 بر 4 برابر 2 می باشد\(2\underline 5 4\;\; \to \;\;2 \times 5 + 4 = 10 + 4 = 14\;\; \Rightarrow \;\;\)
یکان 0 یا ۵ باشد.
اعداد زوجی که بر 3 بخش پذیر باشد بر ۶ بخش پذیرند. در واقع اگر عددی هم بر ۲ و هم بر ۳ بخش پذیر است، بر ۶ نیز بخش پذیر خواهد بود.
1 حاصل ضرب سه عدد متوالی بر 6 بخش پذیر است:
\(\begin{array}{l}(2,\,3,\,4)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2 \times 3 \times 4 = 24\\(3,\,4,\,5)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3 \times 4 \times 5 = 60\end{array} \)
2 حاصل ضرب دو عدد فرد یک عدد فرد است.
\(3 \times 5 = 15\)
3 حاصل ضرب دو عدد زوج یک عدد زوج است.
\(2 \times 12 = 24\)
4 حاصل ضرب یک عدد زوج در یک عدد فرد، یک عدد زوج است.
\(5 \times 4 = 20\)
عدد حاصل از مجموع پنج برابر یکان و بقیه رقم ها، مضرب ۷ باشد؛ مانند:
\(231\;\,\, \to \;\;(1 \times 5) + 23 = 28 = 14\;\,\, \to \;\;28 = 7 \times 4\)
جمع رقم ها مضرب ۹ باشد.
الف) دو رقمی:
ارقام تکراری؛ مانند : ۷۷ یا ۴۴
ب) سه رقمی:
رقم وسط برابر جمع دو رقم کناری شود؛ مانند: ۱۷۶ یا ۳۵۲ و ... .
پ) چند رقمی:
رقم های عدد مورد نظر را یکی در میان جمع می کنیم. حاصل جمع دو گروه را از هم کم می کنیم. اگر این حاصل 0 یا مضرب ۱۱ شد، عدد پر ۱۱ بخش پذیر می باشد.
\(4136\,\,\,\;\;\left. \begin{array}{l}4 + 3 = 7\\1 + 6 = 7\end{array} \right\}\, \Rightarrow \,7 - 7 = 0\)
حاصل مجموع چهار برابر یکان و بقيه رقم ها، مضرب ۱۳ باشد؛ مانند:
\(65\;\,\, \to \;\;(5 \times 4) + 6 = 26\;\,\, \to \;\;26 = 13 \times 2\)
مثال
مجموع سه عدد فرد متوالی همواره بر کدام یک از عددهای اول تک رقمی بخش پذیر است؟
: مجموع سع عدد فرد متوالی
\((2k + 1) + (2k + 3) + (2k + 5) = 6k + 9 = 3(2k + 3)\)
پس مجموع سه عدد فرد متوالی بر 3 بخش پذیر است.
مثال
مقدار x چند باشد تا عدد نُه رقمی \(\overline {b458abxa5} \) بر 11 بخش پذیر باشد؟
در بخش پذیری بر عدد 11 داشتبم که رقم های عدد را از سمت راست شماره گذاری می کنیم. مجموع رقم های شماره فرد را از مجموع رقم های شماره زوج کم می کنیم. عدد حاصل باید بر 11 بخش پذیر باشد:
\(a + b + 8 + 4 = a + b + 12\) : مجموع رقم های شماره زوج
\(5 + x + a + 5 + b = x + a + b + 10\) : مجموع رقم های شماره فرد
= مجموع رقم های شماره فرد – مجموع رقم های شماره زوج
\((a + b + 12) - (x + a + b + 10) = 2 - x\)
حال عبارت بدست آمده باید صفر و یا مضربی از عدد 11 باشد و چون x یک عدد تک رقمی است، پس حاصل x – 2 بایستی صفر باشد. در نتیجه:
\(2 - x = 0 \Rightarrow x = 2\)
اگر x11 بر y7 بخش پذیر باشد، چه نتیجه ای می توان گرفت؟
x11 بر y7 بخش پذیر است. چون دو عدد 11 و 7 عامل مشترک ندارند (عدد اول هستند)، باید x عددی باشد که بعد از ضرب شدن در 11 بر y7 بخش پذیر شود؛ پس x حتما بر 7 بخش پذیر خواهد بود.
اگر عدد \(\overline {854x3y} \) بر 6 بخش پذیر باشد، بیشترین مقدار y + x را بیابید.
عددی که بر 6 بخش پذیر است، 2 شرط دارد:
شرط اول: عدد زوج باشد، یعنی بر 2 بخش پذیر باشد؛ در نتیجه y زوج می باشد.
شرط دوم: عدد مورد نظر بر 3 نیز بخش پذیر باشد؛ بنابراین:
\(\begin{array}{l}8 + 5 + 4 + x + 3 + y = 20 + x + y\\ \Rightarrow \\x + y = 1\\x + y = 4\\x + y = 7\\x + y = 10\\x + y = 13\\x + y = 16 \to x = 8\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,y = 8\end{array}\)
بیشترین مقدار برای y + x ، 16 است.
اگر حاصل ضرب دو عدد اوّل 91 باشد، حاصل جمع آن ها را بیابید.
\(91 = 13 \times 7 \Rightarrow 13 + 7 = 20\)
به چند حالت می توان با 28 دانش آموز تعدادی صف تشکیل داد؟
به 7 حالت می توان با 28 دانش آموز صف تشکیل داد. \(28 = \left\{ \begin{array}{l}28 \times 1\\14 \times 2\\7 \times 4\\4 \times 7\\2 \times 14\\1 \times 28\end{array} \right. \Rightarrow \)
در الگوریتم غربال برای تعیین اعداد اول 1 تا 100، پنجاه و هفتمین عددی که خط می خورد، کدام است؟
در ابتدا عدد 1 و سپس مضرب های 2 (به غیر از خود عدد 2) خط می خورند (تا الان 50 عدد خط خورده اند و می ماند 7 عدد دیگر تا به جواب برسیم). سپس همه مضرب هایی از 3 که بار اول خط نخورده اند (طبیعتاً به غیر از خود عدد 3) و بعد از پنجاهمین عدد قرار دارند، خط می خورند. در نتیجه پنجاه و هفتمین عدد، 45 است:
\(\begin{array}{*{20}{c}}9&{15}&{21}&{27}&{33}&{39}&{45}\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\{51}&{52}&{53}&{54}&{55}&{56}&{57}\end{array}\)
