شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | بردارهای واحد مختصات](https://dl.my-dars.com/upload/image/61703955902.png)
همان طور که می دانیم برای اندازه گیری هر کمیتی از یک واحد استفاده می کنیم. مثلا واحد اندازه گیری زمان ساعت یا دقیقه یا ثانیه است و واحد اندازه گیری زاویه درجه است برای اندازه گیری بردار نیز به واحد نیاز داریم این واحد باید از جنس بردار باشد با توجه به اینکه بردار در صفحه ی مختصات با دو محور نمایش داده می شود به واحدی روی هر دو محور نیاز داریم:
بردار \(\overrightarrow i \) بردار واحد طول و بردار\(\overrightarrow j \)بردار واحد عرض نام دارد.مختصات آنها به صورت زیر است.
\(\overrightarrow i = \left[ \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right],\overrightarrow j = \left[ \begin{array}{l}0\\1\end{array} \right]\)
هر بردار را می توانیم به صورت حاصل جمع مضرب هایی از دو بردار\(\overrightarrow i \)و \(\overrightarrow j \)بنویسیم.
مثلا در شکل زیر بردار\(\overrightarrow a \)برابر است با : \(\overrightarrow a = 4\overrightarrow i + 2\overrightarrow j \)
همچنین می توانیم مختصات بردار\(\overrightarrow c \)را با استفاده از بردارها \(\overrightarrow i \)
و
\(\overrightarrow j \)واحد بدست آوریم.
مثال
بردار\(\overrightarrow c \) را بر حسب بردارهای\(\overrightarrow i \) و \(\overrightarrow j \)و سپس به صورت مختصاتی بنویسید.
با توجه به شکل می توانیم بنویسیم:\(\overrightarrow c = - 3\overrightarrow i + \overrightarrow j \)
و مختصات آن:
\(\overrightarrow c = - 3\left[ \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l}0\\1\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} - 3 + 0\\0 + 1\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} - 3\\1\end{array} \right]\)
مثال
بردار زیر را بر حسب\(\overrightarrow i \) و\(\overrightarrow j \) بنویسید.
\(\left[ \begin{array}{l}3\\4\end{array} \right]\)
\(\left[ \begin{array}{l}3\\4\end{array} \right] = 3\left[ \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right] + 4\left[ \begin{array}{l}0\\1\end{array} \right] = 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \)
از این پس می توانیم به صورت مختصر بنویسیم:
\(\left[ \begin{array}{l}2\\ - 5\end{array} \right] = 2\overrightarrow i - 5\overrightarrow j {\rm{ , }}\left[ \begin{array}{l}0\\ - 6\end{array} \right] = \overrightarrow i - 6\overrightarrow j = - 6\overrightarrow j {\rm{ , }}\left[ \begin{array}{l}2\\0\end{array} \right] = 2\overrightarrow i + 0\overrightarrow j = 2\overrightarrow i \)
طرف دوم تساوی های زیر را بنویسید.
\(\begin{array}{l}\overrightarrow i + \overrightarrow j = {\rm{ }}\\2\overrightarrow i - \overrightarrow j = {\rm{ }}\\3\overrightarrow j = \end{array}\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow i + \overrightarrow j = \left[ \begin{array}{l}1\\1\end{array} \right]{\rm{ }}\\2\overrightarrow i - \overrightarrow j = \left[ \begin{array}{l}2\\ - 1\end{array} \right]{\rm{ }}\\3\overrightarrow j = \left[ \begin{array}{l}0\\3\end{array} \right]\end{array}\)
معادله ی برداری زیر را حل کنید.
\(2\overrightarrow i - \overrightarrow j + 3\overrightarrow x = \)
برای حل معادله های برداری می توانیم از دو روش استفاده کنیم:
۱- روش بردارهای واحد\(\overrightarrow j ,\overrightarrow i \)
۲- روش مختصاتی
۱- روش بردارهای واحد:
در این روش مانند حل معادله علامت جملات پس از انتقال به طرف دیگر معادله تغییر می کند و جملات مشابه با هم جمع می شوند.
\(\begin{array}{l}2\overrightarrow i - \overrightarrow j + 3\overrightarrow x = - 6\overrightarrow i + 3\overrightarrow j \\\\3\overrightarrow x = - 6\overrightarrow i + 3\overrightarrow j - 2\overrightarrow i + \overrightarrow j \\\\3\overrightarrow x = ( - 6 - 2)\overrightarrow i + (3 + 2)\overrightarrow j \\\\3\overrightarrow x = - 8\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \\\\\overrightarrow x = \frac{{ - 8}}{3}\overrightarrow i + \frac{4}{3}\overrightarrow j \end{array}\)
۲- روش مختصاتی
در این روش مختصات بردارها را می نویسیم.
\(\begin{array}{l}2\overrightarrow i - \overrightarrow j + 3\overrightarrow x = \left[ \begin{array}{l} - 6\\3\end{array} \right]\\\\\left[ \begin{array}{l}2\\ - 1\end{array} \right] + 3\overrightarrow x = \left[ \begin{array}{l} - 6\\3\end{array} \right]\\\\3\overrightarrow x = \left[ \begin{array}{l} - 6\\3\end{array} \right] - \left[ \begin{array}{l}2\\ - 1\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} - 6 - 2\\3 - ( - 1)\end{array} \right]\\\\3\overrightarrow x = \left[ \begin{array}{l} - 8\\4\end{array} \right] \Rightarrow \overrightarrow x = \left[ \begin{array}{l}\frac{{ - 8}}{3}\\\frac{4}{3}\end{array} \right]\end{array}\)
مثال
اگر \(\overrightarrow a = 3\overrightarrow i - 2\overrightarrow j \) و \(\overrightarrow b = 2\overrightarrow i + \overrightarrow j \) مختصات بردارهای x و y را بدست آورید.
\(\begin{array}{l}\overrightarrow x = 5\overrightarrow a + 3\overrightarrow b {\rm{ }}\\\\\overrightarrow y = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b \end{array}\)
بردارهای a و b را در معادله ی داده شده جایگزین می کنیم.
\(\begin{array}{l}\overrightarrow x = 5\overrightarrow a + 3\overrightarrow b = 5(3\overrightarrow i + \overrightarrow j ) + 3(2\overrightarrow i + \overrightarrow j ) = \\\\ \Rightarrow 15\overrightarrow i - 10\overrightarrow j + 6\overrightarrow i + 3\overrightarrow j = (15 + 6)\overrightarrow i + ( - 10 + 3)\overrightarrow j = 21\overrightarrow i - 7\overrightarrow j \\\\\overrightarrow y = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b = 3\overrightarrow i - 2\overrightarrow j - 2(2\overrightarrow i + \overrightarrow j ) = \\\\ \Rightarrow 3\overrightarrow i - 2\overrightarrow j - 4\overrightarrow i - 2\overrightarrow j = - \overrightarrow i - 4\overrightarrow j \end{array}\)
بردار \(\overrightarrow b = \left[ \begin{array}{l} - 2\\3\end{array} \right]\) را در دستگاه مختصات و رسم کنید، و آن را بر حسب بردارهای واحد و بنویسید.
\(\overrightarrow b = - 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j \)
با توجه به شکل زیر مختصات بردار c را با دو روش زیر پیدا کنید.
\(\overrightarrow c = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b \)
الف) رسم شکل و نوشتن مختصات بردار c از روی شکل:
ابتدا بردار 2a را رسم می کنیم و سپس آن را با بردار bجمع می کنیم با توجه به شکل روبرو مختصات بدست می آید:
\(\overrightarrow c = \left[ \begin{array}{l} - 1\\ - 3\end{array} \right]\)
ب) پیدا کردن مختصات a و b و قرار دادن آنها در معادله ی :
\(\overrightarrow c = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b = 2\left[ \begin{array}{l} - 2\\ - 1\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l}3\\ - 1\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} - 4 + 3\\ - 2 - 1\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} - 1\\ - 3\end{array} \right]\)
روش الف هندسی و با استفاده از رسم است و حتما باید از کاغذ شطرنجی استفاده کنیم یا اندازه گیری دقیق انجام دهیم، اما روش ب سریع تر ما را به پاسخ یعنی مختصات c می رساند.
می دانیم اگر طول و عرض یک بردار هر دو مثبت باشند.شکل تقریبی آن به صورت روبرو خواهد بود،حال می توانیم جدول زیر را کامل کنیم:
1736019749.png)
