جمع بردارها

در شکل زیر ابتدا از نقطه ی 1 بردار انتقال a به نقطه ی B می رویم. یعنی ۲ واحد به سمت چپ (افقی) و ۴ واحد به سمت بالا عمودی حرکت می کنیم .

پس بردار انتقال\(\overrightarrow a \)برابر است با \(\overrightarrow a = \left[ \begin{array}{l} - 2\\4\end{array} \right]\)  سپس با بردار انتقال \(\overrightarrow b \)از نقطه ی B به نقطه ی C می رویم: \(\overrightarrow b = \left[ \begin{array}{l} - 3\\ - 2\end{array} \right]\)

نقطه ی A با بردار \(\overrightarrow {AC} \) به طور مستقیم به نقطه ی C منتقل شده است. نام آن را بردار انتقال \(\overrightarrow C \)  می گذاریم.

می توان گفت \(\overrightarrow C \)  کار دو بردار انتقال \(\overrightarrow a \)و \(\overrightarrow b \) را انجام می دهد. به بردار \(\overrightarrow C \) بردار برآیند یا حاصل جمع می گویند.

اگر بردار های a و b را با هم جمع کنیم، داریم:

\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left[ \begin{array}{l} - 2\\ + 4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} - 3\\ - 2\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} - 5\\ + 2\end{array} \right]\)

که حاصل آن طبق شکل بالا برابر \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c = \left[ \begin{array}{l} - 5\\ + 2\end{array} \right]\)  است. بنابراین میتوان یک تساوی برداری به صورت \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow c \)  نوشت که تساوی مختصاتی آن هم در بالا نوشته شد.

برای مثال:

در شکل روبرو بردار\(\overrightarrow a \)حاصل جمع دو بردار\(\overrightarrow b \)و \(\overrightarrow c \)  است.

جمع برداری :\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow c \)

و اگر مختصات آنها را از روی شکل بنویسیم داریم:

جمع مختصاتی: \(\left[ \begin{array}{l} + 1\\ - 4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} + 4\\ + 2\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} + 5\\ - 2\end{array} \right]\)

برای مثال می خواهیم دو بردار مساوی بردار\(\overrightarrow a \) در شکل روبرو رسم کنیم.

مختصات\(\overrightarrow a \) به صورت \(\overrightarrow a = \left[ \begin{array}{l}2\\3\end{array} \right]\)  است. پس مختصات بردارهای رسم شده هم باید همین باشد. می توان بردارهای دیگری نیز مساوی بردار \(\overrightarrow a \)رسم کرد.

حال با استفاده از نکته بالا می خواهیم حاصل جمع بردارهای\(\overrightarrow a \)و\(\overrightarrow b \)را رسم کنیم:

ابتدا دو بردار را دنبال هم رسم می کنیم سپس انتهای\(\overrightarrow a \) را به ابتدای\(\overrightarrow b \) وصل می کنیم بردار حاصل جمع به دست می آید. آن را \(\overrightarrow c \)می نامیم:

پس: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow c \)

روشی که در بالا برای رسم بردار حاصل جمع گفته شد روش مثلثی نام دارد. روش دیگر برای رسم حاصل جمع دو بردار روش متوازی الاضلاع نام دارد؛ به این صورت که دو بردار را از یک نقطه ی دلخواه به صورت اضلاع مجاور یک متوازی الاضلاع رسم می کنیم، متوازی الاضلاع را تشکیل می دهیم (می دانیم که ضلع های روبروی متوازی الاضلاع با هم برابرند( و قطر متوازی الاضلاع بردار حاصل جمع خواهد بود:

\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow c \)

برای بدست آوردن حاصل جمع سه بردار، ابتدا حاصل جمع دو بردار را به دست می آوریم و سپس بردار حاصل جمع را با بردار سوم جمع می کنیم

جمع بردارهای قرینه برابر بردار صفر است. آن را با\(\overrightarrow o \) نشان میدهیم و مختصات آن به صورت\(\left[ \begin{array}{l}0\\0\end{array} \right]\)  است.

قرینه ی \(\overrightarrow a \)را با \( - \overrightarrow a \) نشان می دهیم:

\(\overrightarrow a + ( - \overrightarrow a ) = \overrightarrow o \)