شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | ضرب عدد در بردار](https://dl.my-dars.com/upload/image/51703952045.png)
بردارهای a و b در شکل زیر را در نظر بگیرید:
این دو بردار هم جهت هستند اما اندازه ی بردار b سه برابر اندازه ی بردار a است.مختصات آنها را می نویسیم و با هم مقایسه می کنیم:
\(a = \left[ \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right]{\rm{ b = }}\left[ \begin{array}{l}6\\3\end{array} \right]\)
همان طور که می بینید طول و عرض در ۳ ضرب شده اند:
\(3 \times \left[ \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}6\\3\end{array} \right]{\rm{ }}3 \times \overrightarrow a = \overrightarrow b \)
اکنون دو بردار زیر را در نظر بگیرید:
همانطور که می بینید این دو بردار هم جهت نیستند در واقع دو جهت مخالف دارند. حال مختصات آنها را می نویسیم:
\(\begin{array}{l}a = \left[ \begin{array}{l}1\\ + 3\end{array} \right]{\rm{ b = }}\left[ \begin{array}{l} + 2\\ - 6\end{array} \right]\\\\( - 2) \times \left[ \begin{array}{l} - 1\\3\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} + 2\\ - 6\end{array} \right] \Rightarrow ( - 2) \times \overrightarrow a = \overrightarrow b \end{array}\)
این دو بردار هم راستا هستند ولی هم جهت نیستند.پس برای بدست آوردن حاصل ضرب یک عدد در یک بردار آن عدد را در طول و عرض آن بردار ضرب می کنیم:
\(k{\rm{ \times }}\left[ \begin{array}{l}x\\y\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}kx\\ky\end{array} \right]\)
نتیجه
1 اگر عدد مثبتی را در یک بردار ضرب کنیم بردار حاصل هم راستا و هم جهت بردار اولی است.
2 گر یک عدد منفی در بردار ضرب ،شود بردار ،حاصل هم راستا ولی در خلاف جهت بردار اولی است.
اگر بردار b قرینه ی بردار a باشد: (شکل روبرو)
می نویسیم:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow b = - \overrightarrow a {\rm{ , }}\overrightarrow b = {\rm{(}} - 1{\rm{)}} \times \overrightarrow a \\\\\overrightarrow a = \left[ \begin{array}{l}x\\y\end{array} \right] \Rightarrow \overrightarrow b = - \overrightarrow a = \left[ \begin{array}{l} - x\\ - y\end{array} \right]\end{array}\)
مثال
با توجه به بردارهای داده شده بردار مورد نظر را رسم کنید.
\(\begin{array}{l}\overrightarrow b = 3\overrightarrow a {\rm{ }}\\\\\overrightarrow y = - 2\overrightarrow x {\rm{ }}\\{\rm{ }}\\\overrightarrow b = \frac{1}{2}\overrightarrow a {\rm{ }}\\{\rm{ }}\\\overrightarrow y = - \frac{3}{2}\overrightarrow x \end{array}\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow b = 3\overrightarrow a {\rm{ }}\\\\\overrightarrow y = - 2\overrightarrow x {\rm{ }}\\{\rm{ }}\\\overrightarrow b = \frac{1}{2}\overrightarrow a {\rm{ }}\\{\rm{ }}\\\overrightarrow y = - \frac{3}{2}\overrightarrow x \end{array}\)
در هر مورد می توانیم مختصات هر بردار و بردار حاصل ضرب را نیز بدست آوریم:
برای مثال:
\(\overrightarrow x = \left[ \begin{array}{l} - 2\\ - 2\end{array} \right] \Rightarrow \overrightarrow y = - \frac{3}{2} \times \left[ \begin{array}{l} - 2\\ - 2\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}3\\3\end{array} \right]\)
هم چنین برای بردار a می توانیم بنویسیم:
\(\overrightarrow a = \left[ \begin{array}{l} - 2\\0\end{array} \right] \Rightarrow \overrightarrow b = \frac{1}{2} \times \left[ \begin{array}{l} - 2\\0\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} - 1\\0\end{array} \right]\)
مثال
بردارهای a و b مفروض هستند.
الف) بردار\(\overrightarrow c = 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b \) را رسم کنید.
ابتدا بردارهای a و b را از نقطه ی دلخواه O رسم می کنیم؛ سپس بردارهای\(\overrightarrow a + 3\overrightarrow b \) و\(3\overrightarrow a \) را رسم می کنیم و سپس بردار حاصل جمع C را پیدا می کنیم.
ب) بردار \(\overrightarrow d = \overrightarrow a - \overrightarrow b \) را رسم کنید.
باید بردارهای \(\overrightarrow a \) و\( - \overrightarrow b \) را با هم جمع کنیم. ابتدا بردارهای\(\overrightarrow a \)و\( - \overrightarrow b \) را از یک نقطه رسم می کنیم (روش متوازی الاضلاع)
یا دنبال هم رسم می کنیم (روش مثلثی) و همانطور که می بینید بردار حاصل جمع در هر دو شکل یکسان است.
با توجه به بردارهای روبرو، بردار c را رسم کنید.
\(\overrightarrow c = 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b = 2\overrightarrow a + ( - 3\overrightarrow b )\)
ابتدا بردارهای \( - 3\overrightarrow b {\rm{ }},{\rm{ }}2\overrightarrow a \) را از یک نقطه رسم می کنیم سپس به روش متوازی الاضلاع بردار حاصل جمع را رسم می کنیم.
در هر شکل بردار c را بر حسب بردارهای a و b بنویسید.
الف)
ب)
الف) بر حسب نوشتن یعنی بردار c را به صورت حاصل جمع مضرب هایی از بردارهای a و b بنویسیم. اگر متوازی الاضلاعی تشکیل دهیم که بردار c قطر آن باشد. مانند شکل روبرو : (در شکل روبرو طول بردارهای a و b هر کدام یک واحد است)
بردار c برابر می شود با \(\overrightarrow c = 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b \)
ب) در این مثال میتوانیم طول بردارهای a و b را با خط کش اندازه بگیریم.
\(\overrightarrow c = 4\overrightarrow a + 2\overrightarrow b \)
با توجه به بردارهای a و b بردارهای c و d را رسم کنید.
\(\begin{array}{l}\overrightarrow c = 4\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \\\\\overrightarrow d = ( - 4\overrightarrow a ) + \overrightarrow b \end{array}\)
حاصل عبارت روبرو را بدست آورید.
\( - 4\left[ \begin{array}{l} - 5\\7\end{array} \right] - \left[ \begin{array}{l}2\\ - 1\end{array} \right] = \)
\( - 4\left[ \begin{array}{l} - 5\\7\end{array} \right] - \left[ \begin{array}{l}2\\ - 1\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} - 4 \times ( - 5)\\ - 4 \times 7\end{array} \right] - \left[ \begin{array}{l}2\\ - 1\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}20 - 2\\ - 1\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}18\\ - 27\end{array} \right]\)
معادله های مختصات زیر را حل کنید (توجه کنید که در اینجا یک بردار است.)
الف) \(\left[ \begin{array}{l}2\\5\end{array} \right] + x = \left[ \begin{array}{l} - 4\\6\end{array} \right] \Rightarrow \)
ب)\( - 3x = \left[ \begin{array}{l}15\\ - 9\end{array} \right] \Rightarrow \)
الف)\(\left[ \begin{array}{l}2\\5\end{array} \right] + x = \left[ \begin{array}{l} - 4\\6\end{array} \right] \Rightarrow x = \left[ \begin{array}{l} - 4\\6\end{array} \right] - \left[ \begin{array}{l}2\\5\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} - 4 - 2\\6 - 5\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} - 6\\1\end{array} \right]\)
ب)\( - 3x = \left[ \begin{array}{l}15\\ - 9\end{array} \right] \Rightarrow x = \left[ \begin{array}{l}\frac{{15}}{{ - 3}}\\\frac{{ - 9}}{{ - 3}}\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} - 5\\3\end{array} \right]\)
با توجه به بردارهای a و b مختصات بردار c را بدست آورید.
\(\overrightarrow a = \left[ \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right],\overrightarrow b = \left[ \begin{array}{l} - 2\\3\end{array} \right]{\rm{ }} \to {\rm{ }}\overrightarrow c = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b \)
مختصات بردارهای a و b را در معادله ی بالا جایگزین می کنیم
\(\overrightarrow c = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b = \left[ \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right] - 2\left[ \begin{array}{l} - 2\\3\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}2 + 4\\1 - 6\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}6\\ - 5\end{array} \right]\)
بردار داده شده را روی امتدادهای رسم شده تجزیه کنید.
به روش متوازی الاضلاع عمل می کنیم :
1736019749.png)
