درسنامه کامل ریاضی ششم فصل 5 اندازه گیری

می دانیم که برای اندازه گیری مقداری از هر چیز نیاز به واحد داریم برای مثال برای اندازه گیری قد یک انسان از واحد متر یا سانتی متر و برای اندازه گیری سنگینی یک جسم از واحد گرم یا کیلوگرم استفاده می کنیم. معنی کلمات زیر را یاد بگیرید:

كيلو یعنی هزار : مثال: کیلوگرم یعنی هزار گرم - کیلومتر یعنی هزار متر.

دسی یعنی یک دهم: مثال: دسی متر یعنی یک دهم متر.

سانتی یعنی یک صدم : مثال: سانتی متر یعنی یک صدم متر.

میلی یعنی یک هزارم: مثال: میلی متر یعنی یک هزارم متر - میلی گرم یعنی یک هزارم گرم - میلی لیتر یعنی یک هزارم لیتر که معادل یک سی سی یا یک سانتی متر مکعب است.

در جدول زیر واحدهایی را که به طور معمول از آنها استفاده می کنیم، بیان شده است:

با استفاده از جدول زیر به راحتی میتوان واحدهای طول را تبدیل کرد.

می دانیم که مساحت مربع برابر است با یک ضلع ضرب در خودش.

اگر مربعی به ضلع یک سانتی متر داشته باشیم مساحت آن برابر است با ۱ سانتی متر مربع.

۱ سانتی متر مربع : ۱ سانتی متر × ۱ سانتی متر = مساحت مربع

 اگر مربعی به ضلع یک متر داشته باشیم مساحت آن برابر است با ۱ متر مربع.

دسی متر مربع : دسی متر × ۱۰ دسی متر = ۱ متر × ۱ متر = ۱ متر مربع

دسی متر مربع ۱۰۰ = ۱ متر مربع

سانتی متر مربع: ۱۰۰۰۰ = ۱۰۰ سانتی متر × ۱۰۰ سانتی متر = ۱ متر × ۱ متر = ۱ متر مربع

سانتی متر مربع ۱۰۰۰۰=۱ متر مربع

میلی متر مربع: ۱۰۰۰۰ = ۱۰۰۰ میلی متر × ۱۰۰۰ میلی متر = ۱ متر × ۱ متر = ۱ متر مربع

میلی متر مربع ۱۰۰۰۰۰۰ = 1متر مربع

سانتی متر مربع: ۱۰۰ = ۱۰ سانتی متر × ۱۰ سانتی متر = ۱ دسی متر × ۱ دسی متر= ۱ دسی متر مربع

سانتی متر مربع ۱۰۰=۱ دسی متر مربع

میلی متر مربع: ۱۰۰۰۰ = ۱۰۰ میلی متر × ۱۰۰ میلی متر = ۱ دسی متر × ۱ دسی متر =۱ دسی متر مربع

میلی متر مربع ۱۰۰۰۰=۱ دسی متر مربع

برای اندازه گیری مساحت مزرعه ها پارک ها و جنگل ها از واحد بزرگ تری به نام هکتار استفاده می شود.

یک هکتار مساحت مربعی است که اندازه ی هر ضلع آن ۱۰۰ متر است.

متر مربع ۱۰۰۰۰=۱ هکتار\( \Rightarrow \) متر مربع 10000 = 100 متر × 100 متر = 1 هکتار

برای اندازه گیری سطح های بزرگ تر مانند مساحت شهرها کشورها قاره ها و اقیانوس ها از واحد بزرگ تری به نام کیلومتر مربع استفاده میشود یک کیلومتر مربع مساحت مربعی است که اندازه ی هر ضلع آن یک کیلومتر یا ۱۰۰۰ متر است.

مساحت مربع شکل مقابل یک کیلومتر مربع است و مساحت مربعی که در بالا سمت راست رنگ شده، یک هکتار است.

متر مربع ۱۰۰۰۰۰۰ = ۱۰۰۰ متر × ۱۰۰۰ متر= ۱ کیلومتر ×۱ کیلومتر = ۱ کیلو متر مربع

متر مربع ۱۰۰۰۰۰۰ = ۱ کیلومتر مربع

برای تبدیل واحدها دو روش وجود دارد:

۱- استفاده از ضرب و تقسیم

2- استفاده از تناسب

کیلومتر مربع مساحت مربعی به ضلع یک کیلومتر است از طرفی چون هر کیلومتر، برابر ۱۰۰۰ متر است بنابراین ۱ کیلومتر مربع، برابر ۱۰۰۰ × ۱۰۰۰ یعنی ۱۰۰۰۰۰۰ متر مربع می باشد. از واحد کیلومتر مربع برای بیان مساحت سطح های بزرگ مانند مساحت قاره،ها کشورها و شهرها استفاده می شود.

یک هکتار مساحت مربعی به ضلع ۱۰۰ متر است. پس هر هکتار برابر ۱۰۰ × ۱۰۰ یعنی ۱۰۰۰۰ متر مربع می باشد.

از واحد هکتار برای بیان مساحت زمین های کشاورزی و جنگل ها استفاده می شود.

یک متر مربع مساحت مربعی به ضلع ۱ متر است. از طرفی چون هر دسی متر، برابر ۰/۱ متر است پس هر دسی متر مربع برابر ۰/۱ متر است.پس هر دسی متر مربع برابر 1/0×1/0 یعنی 0/01 متر مربع می باشد .از این واحد هم برای بیان مساحت اتاق ها استفاده می شود.

به طور مثال مساحت یک اتاق ۱۲ متر مربع و ۶ دسی متر مربع میباشد. که این مساحت با ۱۲/۰۶ متر مربع برابر است.

یک سانتی متر مربع مساحت مربعی به ضلع ۱ سانتی متر است. از طرفی چون هر سانتی متر، برابر ۰/۰۱ متر است، پس هر سانتی متر برابر ۰/۱۰/۰۱ یعنی ۰/۰۰۰۱ متر مربع میباشد. از این واحد برای بیان مساحت سطح های کوچک مانند سطح کتاب استفاده می شود.

در سال ها قبل با مفهوم اندازه گیری و واحدهای مختلف برای اندازه گیری مواردی از قبیل طول سطح و حجم و ... آشنا شدید. در این قسمت بعضی از واحدهای اندازه گری را یادآوری می کنیم:

واحد اندازه گیری طول: کیلومتر – متر - دسی متر – سانتی متر – میلی متر

واحدهای اندازه گیری زمان: سال - ماه - هفته - روز – ساعت – دقیقه – ثانیه

واحدهای اندازه گیری جرم (وزن): تن – کیلوگرم - گرم

واحدهای اندازه گیری سطح: کیلومتر مربع - هکتار - متر مربع - دسی متر مربع - سانتی متر مربع – میلی متر مربع

واحدهای اندازه گیری: حجم متر مکعب – دسی متر مکعب – سانتی متر مکعب

واحدهای اندازه گیری گنجانش: لیتر – میلی لیتر

واحدهای اندازه گیری زاویه: درجه 

همان طور که میدانید برای اندازه گیری در هر یک از موارد بالا باید از واحد مناسب آن استفاده کنیم به طور مثال برای اندازه گیری طول یک اتاق بهتر است از واحد متر استفاده کنیم اما برای اندازه گیری فاصله ی بین دو شهر بهتر است از واحد کیلومتر و برای اندازه گیری ضخامت یک کتاب از واحد میلی متر استفاده کنیم.

پس انتخاب واحد مناسب در اندازه گیری از اهمیت زیادی برخوردار است. حال اگر در انتخاب واحدها دقت نکنیم، مجبوریم از عددهای خیلی بزرگ و یا خیلی کوچک استفاده کنیم به طور مثال فاصله ی تهران تا مشهد تقریبا ۹۰۰ کیلومتر است این فاصله با واحد متر برابر ۹۰۰,۰۰۰ متر و با واحد سانتی متر برابر ۹۰,۰۰۰,۰۰۰ سانتی متر است.

هر کیلومتر، برابر ۱۰۰۰ متر است.

 (۱متر) × ۱۰۰۰ = ۱

هر متر برابر ۱۰ دسی متر است.

(1دسی متر) × ۱۰ = ۱

هر دسی متر برابر ۱۰ سانتی متر است.

(1 سانتی متر) × ۱۰ = ۱ دسی

هر سانتی متر، برابر ۱۰ میلی متر است.

(1 میلی متر) × ۱۰ = ۱ سانتی متر

به شکل مقابل هرم می گویند.

قاعده ی هرم یک چندضلعی است (مانند: مثلث، مربع مستطیل، پنج ضلعی و ...)

به هر یک از سطح های تشکیل دهندهی هرم یک وجه می گویند.

گسترده ی هرم بالا به صورت مقابل است.

اگر گسترده هرم از چهار مثلث متساوی الاضلاع هم اندازه تشکیل شده باشد به آن چهاروجهی منتظم هم گفته می شود.

شکل زیر یک مکعب و گسترده ی آن را نشان می دهد.

ضلع ضلع x ضلع = حجم مکعب

ضلع × ضلع ×۶ = مساحت گسترده ی مکعب (مساحت کل مکعب)

برای اندازه گیری ،حجم واحدهایی مانند مترمکعب دسی مترمکعب (لیتر) و سانتی مترمکعب (سی سی) وجود دارد.

یک متر مکعب، حجم مکعبی است که اندازه ی هر ضلع آن یک متر باشد.

یک دسی مترمکعب (یا یک لیتر)، حجم مکعبی است که اندازه ی هر ضلع آن یک دسی متر یا ۱۰ سانتی متر باشد. این واحد برای اندازه گیری حجم مایعات بسیار مورد استفاده قرار می گیرد.

۱ لیتر یا یک دسی متر مکعب = حجم

یک سانتی متر مکعب حجم مکعبی است که اندازه ی هر ضلع آن یک سانتی متر باشد. نام های دیگر این واحد سی سی» و «میلی لیتر» است.

۱ سانتی متر مکعب = حجم

برای تبدیل واحدهای حجم میتوان از دو روش ضرب و جدول تناسب استفاده کرد.

شکل زیر یک مکعب مستطیل و گسترده ی آن را نشان میدهد اضلاع برابر در گسترده ی شکل مشخص شده اند.

در گسترده ی مکعب مستطیل سطح هایی (وجه) هایی که هم رنگ هستند دارای مساحت های مساوی هستند. این سطح ها در مکعب مستطیل در مقابل هم قرار می گیرند.

اگر اضلاع مکعب مستطیل را به صورت مقابل نام گذاری کنیم حجم و مساحت گسترده ی مساحت کل آن به صورت زیر محاسبه می شود.

ارتفاع × عرض × طول = حجم مکعب مستطیل

(ارتفاع × عرض) + (ارتفاع × طول) + (عرض × طول ) × ۲ = مساحت گسترده ی مکعب مستطیل (مساحت کل)

شکل مقابل یک مخروط است. مخروط شبیه هرم است فقط قاعده ی آن به شکل دایره است (چند ضلعی نیست).

شکل مقابل یک کره است.

توپ فوتبال به شکل یک کره است کره را از هر طرف نگاه کنیم، یک دایره می بینیم.

شکل مقابل یک استوانه است.

استوانه ی مقابل را اگر از بالا نگاه کنیم یک دایره می بینیم و اگر از راست یا روبه رو نگاه کنیم یک مستطیل می بینیم.

دو تصویر مختلف از این استوانه

واحدهای اندازه گیری :جرم واحدهای معمول اندازه گیری جرم از کوچک به بزرگ عبارت اند از:

میلی گرم - گرم - کیلوگرم - تن

جدول مقابل رابطه ی بین این واحدها را نشان می دهد.

واحد میلی گرم واحد بسیار کوچکی است و به طور معمول در صنایع داروسازی مورد استفاده قرار می گیرد.

یعنی هر ۱ تن مساوی ۱۰۰۰۰۰۰ گرم است.

جرم یک سی سی آب تقریبا یک گرم است و چون یک لیتر مساوی ۱۰۰۰ سی سی است، بنابراین جرم یک لیتر آب معادل ۱۰۰۰ گرم یا یک کیلوگرم است.

هرم یک شکل فضایی (چندوجهی) است که همه ی وجه های آن به جز یکی از آن ها در یک رأس مشترک هستند. به شکل های زیر دقت کنید.

مکعب یک شکل فضایی شش وجهی است که تمامی وجههای آن از مربع های برابر هستند. هر مکعب دارای گوشته (رأس) و ۱۲ لبه (ضلع) است.

اندازه ی لبه (ضلع) را سه مرتبه نوشته و در هم ضرب کنید = حجم مکعب

مساحت یک مربع × ۶ = مساحت یک وجه × ۶ = مساحت گسترده ی مکعب

مکعب مستطیل یک شکل فضایی شش وجهی است که تمامی وجه های آن به شکل مستطیل هستند. هر مکعب مستطیل دارای ۸ گوشه (رأس) و ۱۲ لبه (ضلع) است. شکل های زیر چند حالت گسترده ی مکعب مستطیل را نمایش می دهند.

ارتفاع × عرض × طول = حجم مکعب مستطیل

(ارتفاع × عرض) + (ارتفاع × طول) + (عرض × طول) × ۲ = مساحت گسترده ی مکعب مستطیل

معرفی چند شکل هندسی دیگر

یک متر مکعب اگر مکعبی به ضلع یک متر داشته باشیم حجم آن یک متر مکعب می باشد.

۱ متر × ۱ متر ×1 متر × ۱ متر = ۱ متر مکعب

یک دسی متر مکعب اگر مکعبی به ضلع یک دسی متر داشته باشیم حجم آن یک دسی متر مکعب می باشد.

یک سانتی متر مکعب اگر مکعبی به ضلع یک سانتی متر داشته باشیم حجم آن یک سانتی متر مکعب می باشد.

هر متر برابر ۱۰ دسی متر است پس:

۱۰۰۰ دسی متر مکعب = ۱۰ دسی متر × ۱۰ دسی متر × ۱۰ دسی متر = ۱ متر مکعب

هر متر برابر ۱۰۰ سانتی متر است پس:

۱۰۰۰۰۰۰ سانتی متر مکعب = ۱۰۰ سانتی متر × ۱۰۰ سانتی متر × ۱۰۰ سانتی متر = ۱ متر مکعب

تن: هر هزار کیلوگرم برابر یک تن است. پس یک کیلوگرم برابر \(\frac{1}{{1000}}\) تن می باشد.

کیلوگرم: هر کیلوگرم برابر ۱۰۰۰ گرم است. پس یک گرم برابر \(\frac{1}{{1000}}\) کیلوگرم می باشد.

گرم: هر گرم برابر ۱۰۰۰ میلی گرم است. پس هر میلی گرم برابر \(\frac{1}{{1000}}\)گرم است.

شکل مقابل یک دایره را نشان می دهد.

نقطه ی «م» مرکز دایره است.

پاره خط «م س» شعاع دایره است.

پاره خط «ف ب» قطر دایره است.

دایره دارای بی شمار شعاع و بی شمار قطر است.

شعاع های دایره با هم برابر و قطرهای دایره نیز با هم برابرند.

اندازه ی هر قطر دو برابر شعاع است یعنی اندازه ی شعاع نصف قطر است.

۳/۱۴ × قطر = محیط دایره

۳/۱۴ × شعاع × شعاع = مساحت دایره

عدد ۳/۱۴ را عدد پی می.گویند البته این عدد مقدار تقریبی عدد پی است.

می دانیم که یک دایره کامل یک زاویه ی ۳۶۰ درجه را نشان میدهد. اکنون به شکل های زیر که در آن ها دایره ها به قسمتهای مساوی تقسیم شدهاند و اندازه ی زاویه های هر بخش دقت کنید.

در سال های گذشته با محیط دایره و نحوه ی محاسبه ی آن آشنا شدید:

عدد پی × شعاع × ۲ = عدد پی × قطر = محیط دایره

با توجه به رابطه ی بالا نصف محیط دایره برابر است با حاصل ضرب شعاع در عدد بی، اما دقت داشته باشید که محیط یک نیم دایره از رابطه ی زیر به دست می آید.

قطر + (عدد پی × شعاع) =محیط نیم دایره

در کتاب درسی چگونگی اثبات رابطهی مساحت دایره بیان شده است و در این جا فقط به بیان این رابطه می پردازیم.

عدد پی × شعاع × شعاع = مساحت دایره

۲ + (عدد پی × شعاع × شعاع) = مساحت نیم دایره

۴ +(عدد پی × شعاع × شعاع) = مساحت ربع دایره

فاصله ی بین دو نقطه طول پاره خطی است که دو نقطه را به هم وصل می.کند در شکل روبه رو، فاصله ی دو نقطه ی و «س» برابر است با طول پاره خط «ب س».

فاصله ی یک نقطه تا یک خط پاره خط برابر است با طول پاره خط عمودی که از آن نقطه بر خط رسم می شود. در شکل زیر فاصله ی نقطه ی «م» از خط ب پ برابر است با طول پاره خط «م ج».

در شکل زیر (ب ج) فاصله ی نقطه ی «ب» از ضلع پت است بنابراین ب ج» ارتفاع وارد بر ضلع (پ ت) است.

از هر نقطه روی یک پاره خط فقط یک خط عمود بر آن می توان رسم کرد.

می دانیم که از دو نقطه شمار خط خمیده میگذرد اما از دو نقطه فقط یک خط راست عبور می کند که به این ترتیب طول پاره خطی که دو نقطه را به یک دیگر وصل میکند برابر فاصله ی بین این دو نقطه است. در شکل زیر طول پاره خط آب برابر فاصله بین دو نقطه ی (آ) و (ب) است.

کوتاه ترین فاصله ی یک نقطه تا یک خط برابر طول پاره خطی است که از نقطه ی مورد نظر بر آن خط عمود میشود برای رسم پاره خط عمود از یک نقطه بر یک خط میتوانیم از گونیا استفاده کنیم. در شکل مقابل فاصله ی نقطه ی (آ) از خط (د م) برابر ۱/۴ سانتی متر است.

اگر در مثلثی از یک رأس بر ضلع مقابل آن عمود کنیم این پاره خط عمود همان ارتفاع مثلث و ضلع مقابل به آن نیز قاعده ی نظیر آن ارتفاع می باشد.. در شکل زیر از رأس (ج) بر ضلع مقابل آن یعنی ضلع آب پاره خط (ج) (د) را عمود کرده ایم به این ترتیب پاره خط (د ج) همان ارتفاع مثلث ضلع (آ ب) نیز قاعده ی متناظر با آن ارتفاع می باشد. توجه داشته باشید که گاهی مجبوریم ارتفاع وارد بر یک ضلع را در خارج از مثلث . بر امتداد آن ضلع رسم کنیم در شکل زیر پاره خط (آ و) ارتفاع هر مثلث دارای سه ارتفاع میباشد که همگی آنها یک دیگر را در یک نقطه قطع می کنند. در شکل های زیر ارتفاع های سه نوع مثلث را نشان داده ایم به ارتفاع هایی که در بیرون مثلث رسم می شوند ارتفاع خارجی می گوییم.

نظیر ضلع (ج) (ب) میباشد که برا امتداد ضلع (ج ب) عمود شده است و این اتفاق زمانی می افتد که مثلث زاویه ی بزرگ تر از ۹۰ درجه داشته باشد.

در شکل مقابل خط (ج د) بر پاره خط (آ ب) عمود شده و آن را به دو قسمت مساوی تقسیم کرده است. به این خط یعنی خط (ج د)، عمود منصف پاره خط (ب آ) گفته می شود.

در شکل بالا نقطه ی (ه) روی عمود منصف پاره خط (ب آ) قرار دارد از طرفی فاصله ی دو نقطه (ه آ) با فاصله ی دو نقطه ی (ب ه) برابر است از این خاصیت میتوان برای تشخیص عمود منصف بودن یک خط استفاده کرد.

اندازه ی زاویه ی راست (قائمه)، برابر ۹۰ درجه است.

اندازه ی زاویه نیم صفحه برابر ۱۸۰ درجه است.

اندازه ی زاویه تند از صفر درجه بیشتر و از ۹۰ کم تر است.

اندازه ی زاویه ی باز از ۹۰ درجه بیشتر و از ۱۸۰ درجه کم تر است.

اندازه ی زاویه ی تمام صفحه مساوی ۳۶۰ درجه است.

یعنی:

زاویه ی تمام صفحه > زاویه ی نیم صفحه > زاویه ی باز > زاویه ی راست > زاویه ی تند

دو زاویه ی متمم اگر مجموع دو زاویه ۹۰ درجه باشد آن دو زاویه را متمم گویند.

در شکل مقابل زاویه های ۱ و ۲ متمم اند.

اگر مجموع دو زاویه ۱۸۰ درجه باشد آن دو زاویه را مکمل می گویند.

در شکل مقابل زاویه های ۱ و ۲ مکمل اند.

در متوازی الاضلاع زاویه های مجاور مکمل اند، یعنی:

\(\begin{array}{l}1 + 2 = 180^\circ \\\\3 + 4 = 180^\circ \\\\1 + 4 = 180^\circ \\\\2 + 3 = 180^\circ \end{array}\)

اگر دو خط راست یکدیگر را قطع کنند، ۴ زاویه درست میشود که زاویه های روبه رو، دوبه دو متقابل به رأس هستند یعنی در شکل مقابل زاویه های ۱ و ۲ متقابل به رأس هستند. زاویه های ۳ و۴ نیز متقابل به رأس هستند.

دو زاویه ی متقابل به رأس با هم برابرند، یعنی در شکل بالا:

\(\widehat 1 = \widehat 2\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\widehat 3 = \widehat 4\) 

دایره ی شکل مقابل به شش قسمت مساوی یا به شش کمان مساوی تقسیم شده است. اگر نقطه های کنار هم روی دایره را به هم وصل کنیم شش پاره خط به وجود آمده نیز مساوی اند یعنی پاره خط های مربوط به کمان های مساوی با هم برابرند.

به هر دو زاویه ای که مجموع آنها ۹۰ درجه باشد دو زاویه متمم میگویند به طور مثال دو زاویه ی ۳۰ درجه و ۶۰ درجه متمم یک دیگر هستند.

به هر دو زاویه که مجموع آن ها ۱۸۰ درجه باشد دو زاویه ی مکمل میگویند به طور مثال دو زاویه ی ۳۰ درجه و ۱۵۰ درجه مکمل یک دیگر هستند.

اگر دو خط هم دیگر را قطع کنند، چهار زاویه به وجود می آید که زاویه های روبه رو دو به دو با هم برابر هستند. به این زاویه ها متقابل به رأس می گویند. توجه داشته باشید که در زاویه های متقابل به رأس، ضلع ها باید در امتداد یک دیگر باشند.

با توجه به این که دو زاویه ی متقابل به رأس باید هم رأس باشند و همچنین اضلاع دو زاویه ی متقابل به رأس باید در امتداد یک دیگر باشد لذا در شکلهای زیر زاویه ی متقابل به رأس وجود ندارد.