نمونه سوالات تستی فصل 6 ریاضی نهم همراه با جواب تشریحی

اگر نقطه ای روی محور طول ها باشد، دارای عرض صفر و نقطه ای روی محور عرض ها باشد، دارای طول سفر خواهد بود.

\(M = \left[ \begin{array}{l}3x - 6\\2n + 1\end{array} \right] \Rightarrow 3m - 6 = 0 \Rightarrow m = 2\)    روی محور عرض ها

\(N = \left[ \begin{array}{l}m + 5\\n - 1\end{array} \right] \Rightarrow n - 1 = 0 \Rightarrow n = 1\)     روی محور طول ها

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M = \left[ \begin{array}{l}0\\3\end{array} \right],N = \left[ \begin{array}{l}7\\0\end{array} \right]\\\\ \Rightarrow {S_{O\mathop M\limits^\Delta N}} = \frac{{7 \times 3}}{2} = 11/5\end{array}\)

وقتی نقطه \(\left[ \begin{array}{l}x\\y\end{array} \right]\)  از محور های مختصات به یک فاصله است که روی نیم ساز ربع اول باشد که در این حالت x=y است و یا روی نیم ساز ربع دوم و چهارم می باشد که در این حالت x=-y می باشد. داریم:

\(A \Rightarrow 5x - 6 = - 2x + 8 \Rightarrow 5x + 2x = \)   روی نیم ساز ربع اول و سوم

\(6 + 8 \Rightarrow 7x = 140 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow A = \left[ \begin{array}{l}4\\4\end{array} \right]\)

\(A \Rightarrow 5x - 6 = - ( - 2x + 8) \Rightarrow 5x - 6 = \)   روی نیم ساز ربع دوم و چهارم

\(\begin{array}{l}2x - 8 \Rightarrow 5x - 2x = 6 - 8 \Rightarrow 3x = - 2\\\\ \Rightarrow x = \frac{{ - 2}}{3} \Rightarrow A = \left[ \begin{array}{l}\frac{{ - 28}}{3}\\\,\,\frac{{28}}{3}\end{array} \right]\end{array}\)

در ناحیه دوم، طول منفی و عرض مثبت می باشد، پس داریم:

\(\left. \begin{array}{l}5x - 1 < 0 \Rightarrow 5x < 1 \Rightarrow x < \frac{1}{5}\\\\2 - 3x > 0 \Rightarrow 3x < 2 \Rightarrow x < \frac{2}{3}\end{array} \right\} \Rightarrow x < \frac{1}{5}\)

\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}4\\1\end{array} \right] \Rightarrow ay = 3x - 2 \Rightarrow a(1) = 3(4) - 2\\\\ \Rightarrow a = 12 - 2 \Rightarrow a = 10\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}5n + 6\\ - 3n - 1\end{array} \right] \Rightarrow y = 5x + 4\\\\ \Rightarrow - 3n - 1 = 5(5n + 6) + 4\\\\ \Rightarrow - 3n - 1 = 25n + 30 + 4\\\\ \Rightarrow - 3n - 25n = 30 + 4 + 1 \Rightarrow - 28n = 35\\\\ \Rightarrow n = - \frac{{35}}{{28}} = - \frac{5}{4} = - 1/25\end{array}\)

ابتدا خط مورد نظر را به صورتی رسم می کنیم که از ناحیه چهارم نگذرد:

برای این منظور بایستی شیب خط نامنفی و عرض از مبدا نیز نامنفی باشد؛ بنابراین داریم:

\(\begin{array}{l}a - 1 \ge 0 \Rightarrow a \ge 1\\\\b + 2 \ge 0 \Rightarrow b \ge - 2\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}0\\0\end{array} \right] \Rightarrow y = (n - 2)x + (4m + 8)\\\\ \Rightarrow 0 = (n - 2) \times 0 + (4m + 8)\\\\ \Rightarrow 4m + 8 = 0 \Rightarrow m = - 2 \Rightarrow n \in \mathbb{R},m = 0\end{array}\)

در شکل، شیب خط منفی و عرض از مبدا نیز منفی می باشد. این موارد در معادله خط گزینه (3) رعایت شده است.

برای بدست آوردن معادله خط، به شیب خط و عرض از مبدا نیاز داریم. مقدار عرض از مبدا 3 می باشد؛ بنابراین گزینه های (2) و (4) حذف می شوند؛ مقدار شیب نیز از رابطه زیر محاسبه می شود:

\(\left\{ \begin{array}{l}m = \frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\\\\\left[ \begin{array}{l}0\\3\end{array} \right],\left[ \begin{array}{l} - 6\\0\end{array} \right]\end{array} \right. \Rightarrow m = \frac{{ - 6 - 0}}{{0 - 3}} = \frac{{ - 6}}{{ - 3}} = 2\)

بنابراین گزینه (1) صحیح می باشد.

\(\begin{array}{l}\frac{4}{5}x - \frac{3}{2}y - 1 = 0 \Rightarrow \frac{3}{2}y = \frac{4}{5}x - 1\\\\ \Rightarrow y = \frac{2}{3}(\frac{4}{5}x - 1) \Rightarrow y = \frac{8}{{15}}x - \frac{2}{3}\end{array}\)

که تنها در گزینه (3)، شیب مثبت و عرض از مبدا منفی می باشد.

\(\begin{array}{l}\frac{{5 - 2y}}{4} = 3x - 2 \Rightarrow 5 - 2y = 4(3x - 2)\\\\ \Rightarrow 5 - 2y = 12x - 8 \Rightarrow - 2y = 12x - 8 + 5\\\\ \Rightarrow - 2y = 12 - 3 \Rightarrow y = \frac{{12x - 3}}{{ - 2}}\\\\ \Rightarrow y = - 6x + \frac{3}{2}\end{array}\)

معادله خط خواسته شده به صورت زیر می باشد:

\(y = - 2x + 4\)

باقی گزینه هایی که به این فرم نیستند را به همین صورت در می آوریم:

گزینه (2):

\(\begin{array}{l}2y + x - 8 = 0 \Rightarrow 2y = - x + 8\\\\ \Rightarrow y = - \frac{1}{2}x + 4\end{array}\)

گزینه (3):

\(\begin{array}{l}\frac{y}{2} + x - 2 = 0 \Rightarrow \frac{y}{2} = - x + 2\\\\ \Rightarrow y = - 2x + 4\end{array}\)

گزینه (4):

\(y - 2x = 4 \Rightarrow y = 2x + 4\)

\(\begin{array}{l}\frac{{5 + 3x - 2y}}{2} = \frac{{x - 1}}{3} \Rightarrow 3(5 + 3x - 2y) = \\\\2(x - 1) \Rightarrow 15 + 9x - 6y = 2x - 2\\\\ \Rightarrow - 6y = 2x - 2 - 9x - 15\\\\ \Rightarrow - 6y = - 7x - 17 \Rightarrow y = \frac{{ - 7}}{{ - 6}}x - \frac{{17}}{{ - 6}}\\\\ \Rightarrow y = \frac{7}{6}x + \frac{{17}}{6}\end{array}\)

\(\frac{7}{6}\):شیب

\(\begin{array}{l}\frac{{x + y}}{3} = \frac{{x - y}}{2} \Rightarrow 2(x + y)) = 3(x - y))\\\\ \Rightarrow 2x + 2y = 3x - 3y\\\\ \Rightarrow 2y + 3y = 3x - 2x \Rightarrow 5y = x\\\\ \Rightarrow y = \frac{1}{5}x \Rightarrow m = \frac{1}{5}\end{array}\)

معادله خطی به شیب \(\frac{1}{5}\)  و گذرنده از نقطه \(\left[ \begin{array}{l}2\\ - 1\end{array} \right]\)  به صورت زیر است:

\(\begin{array}{l}(y + 1) = \frac{1}{5}(x - 2) \Rightarrow 5(y + 1) = x - 2\\\\ \Rightarrow 5y + 5 = x - 2 \Rightarrow - x + 5y = - 7\end{array}\)

یک دستگاه معادلات به صورت \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\)  داریم اگر:

الف) \(\frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}\) ؛ آنگاه دستگاه یک جواب مشخص دارد.

ب) \(\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} \ne \frac{c}{{c'}}\) ؛ آنگاه دستگاه جواب ندارد و دو خط مذکور مساوی هستند.

پ) \(\frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} = \frac{c}{{c'}}\) ؛ آنگاه دستگاه بی شمار جواب دارد و دو خط بر یکدیگر منطبق هستند.

حال دستگاه صورت سوال را به این شکل در آورده و مورد بررسی قرار می دهیم:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 5 = 0\\\\2y = 4x - 10\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = 5\\\\ - 4x + 2y = - 10\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow \frac{2}{{ - 4}} = \frac{{ - 1}}{2} = \frac{5}{{ - 10}} = \frac{{ - 1}}{2}\end{array}\)

در این صورت دستگاه بی شمار جواب دارد.

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4x - 5y = 3\\\\( - 2 \times )2x - y = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - 5y = 3\\\\ - 4x + 2y = - 6\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow - 3y = - 3 \Rightarrow y = + 1\\\\ \Rightarrow 4x - 5( + 1) = 3 \Rightarrow 4x - 5 = 3\\\\ \Rightarrow 4x = 8 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\\\y = 1\end{array} \right.\end{array}\)

برای بدست آوردن معادله خط، بایستی یک شیب داشته باشیم و یک نقطه گذرنده!

در این جا خط مطلوب موازی با خط \(y = 4x + 1\)  می باشد، بنابراین شیب این خط m=4 می باشد.

نقطه مورد نظر نیز از حل دستگاه زی بدست می آید:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 2\\\\y + x = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - y = 2\\\\x + y = 2\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow 3x - y = 2\\\\ \Rightarrow 3(1) - y = 2 \Rightarrow 3 - y = 2 \Rightarrow y = 3 - 2 = 1\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\\\y = 1\end{array} \right.\end{array}\)

در این صورت معادله خط مذکور از رابطه زیر محاسبه می شود:

\(\begin{array}{l}(y - 1) = 4(x - 1) \Rightarrow y - 1 = 4x - 4\\\\ \Rightarrow y = 4x - 4 + 1 \Rightarrow y = 4x - 3\end{array}\)

عدد اول x و عدد دوم را y در نظر می گیریم و دستگاه معادلات خطی تشکیل می دهیم:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4x + 2y = 34\\\\2x - 3y = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 2y = 34\\\\( - 2 \times )2x - 3y = 5\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 2y = 34\\\\ - 4x + 6y = - 10\end{array} \right. \Rightarrow 8y = 24 \Rightarrow y = 3\\\\2x - 3(3) = 5 \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7\\\\ \Rightarrow x + y = 7 + 3 = 10\end{array}\)

دو عدد را به صورت x و y در نظر می گیریم و دستگاه معادلات خطی را تشکیل می دهیم. با حل آن دو عدد مشخص خواهند شد.

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 13\\\\x - y = 1\end{array} \right. \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7\\\\ \Rightarrow x + y = 13 \Rightarrow 7 + y = 13 \Rightarrow y = 13 - 7\\\\ \Rightarrow y = 6\end{array}\)

یکی از اعداد، عدد اول است.

بررسی گزینه ها:

گزینه (1) و گزینه (2) بدیهی و واضح هستند.

درگزینه (3)، چون فقط a=0 و باقی مقدار دارند، داریم:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}0 \times x + by + c = 0\\\\a'x + b'y + c' = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}by = - c\\\\a'x + b'y = - c'\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow \frac{0}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}\end{array}\)

در این صورت، دستگاه یک جواب مشخص دارد. پس این گزینه درست می باشد.

برای گزینه (4) داریم:

\(\begin{array}{l}a = ka' \Rightarrow \frac{a}{{a'}} = k\\\\b = mb' \Rightarrow \frac{b}{{b'}} = k\\\\c = nc' \Rightarrow \frac{c}{{c'}} = n\end{array}\)

مقادیر k، m و n می توانند هر مقداری از اعداد طبیعی باشند و برابر یکدیگر نباشند. بنابراین برای مقادیر k=1، m=2 و n=3، دو خط بر یکدیگر منطبق نخواهند بود. بنابراین تنها گزینه نادست، گزینه (4) می باشد.