جواب تمرین صفحه 131 درس 6 ریاضی دهم (شمارش، بدون شمردن)

\(P\left( {18\:,\:3} \right) = \frac{{18!}}{{\left( {18 - 3} \right)!}} = \frac{{18!}}{{15!}} = 18\: \times \:17\: \times \:16 = 4896\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{P\left( {n\:,\:3} \right) = \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} = n\: \times \:\left( {n - 1} \right)\: \times \:\left( {n - 2} \right) = 210 \Rightarrow n = 7}\end{array}\)

6! = 3! + 3!  نادرست:

6! = 6 × 5!  درست:

8! = 4! × 2!  نادرست:

2 × 3! = 6!  نادرست:

(3!)² = 9!  نادرست:

\(4!\; = \frac{{8!}}{{2!}}\)  نادرست 

زمان مورد نیاز \( = 2\: \times \:P\left( {20\:,\:3} \right) = \)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{2\: \times \:\frac{{20!}}{{\left( {20 - 3} \right)!}} = 2\: \times \:\frac{{20!}}{{17!}} = }\end{array}\)

\(2\: \times \:20\: \times \:19\: \times \:18 = 13680\) ثانیه

الف !6

هنگامی که 2 حرف از 6 حرف انتخاب شده است،پس 4 حرف باقی می ماند؛ بنابراین داریم: !4

ب \(\begin{array}{*{20}{l}}{P\left( {6\:,\:4} \right) = \frac{{6!}}{{\left( {6 - 4} \right)!}} = \frac{{6!}}{{2!}} = 6\: \times \:5 \times 4 \times 3 = 360}\end{array}\)

پ 

ت

 \(\begin{array}{l}2!\: \times \:P\left( {6 - 2\:,\:4 - 2} \right) \times 3!\\\\ = 2!\: \times \:P\left( {4\:,\:2} \right)\: \times 3!\\\\ = 2!\: \times \:\frac{{4!}}{{\left( {4 - 2} \right)!}}\: \times 3!\\\\ = 2!\: \times \:\frac{{4!}}{{2!}}\: \times 3! = 24\: \times \:6 = 144\end{array}\)

ث توضیح اینکه چون حرف های پ و ر می خواهند کنار هم باشند، پس 2 جایگشت برای آن ها داریم. در نتیجه دو جایگاه از 4 جایگاه اشغال می شود و از 6 حرف، 4 حرف باقی می ماند. همچنین در 2 جایگاه باقی مانده می تواند 2 حرف از 4 حرف باقی مانده قرار بگیرند، در نتیجه می شود (2 , 4)P . در آخر چون حروف کنار هم پ و ر را می توانیم یک واحد جداگانه فرض کنیم، پس فرض می کنیم که به جای 4 جایگاه، می خواهد 3 جایگاه توسط حروف اشغال شوند. در نتیجه تعداد قرار گیری جایگاه ها هم می شود !3. به عبارت دیگر:

\(\begin{array}{l}4!\, \times \,P\left( {6 - 4\,,\,5 - 4} \right) \times 2! = \\\\4!\, \times \,P\left( {2\,,\,1} \right)\, \times 2! = 4!\, \times \,\frac{{2!}}{{\left( {2 - 1} \right)!}}\, \times 2! = \\\\4!\, \times \,\frac{{2!}}{{1!}}\, \times 2! = 24\, \times \,2\, \times \,2 = 96\end{array}\)

ث توضیح آن مانند توضیح قسمت (ت) می باشد. به عبارت دیگر :