شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
1 گزاره‌های مربوط به تبدیل جملات به نمادهای ریاضی:
الف دو برابر ریشه دوم یک متغیر، برابر با خود آن متغیر است.
ب توان سوم یک عدد، از حاصل‌ضرب ۷ در آن عدد به اضافه ۵ بزرگ‌تر است.
پ مجموع معکوس دو عدد، بزرگ‌تر یا مساوی با مجموع همان دو عدد است.
ت مجموع مکعب‌های دو عدد، بزرگ‌تر یا مساوی با مکعبِ حاصل‌جمع آن دو عدد است.
ث برای هر عدد غیرصفر، مقدار آن عدد بزرگ‌تر یا مساوی معکوسش است.
الف \(2\sqrt{x} = x\)
ب \(k^3 > 7k + 5\)
پ \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge a + b\)
ت \(a^3 + b^3 \ge (a + b)^3\)
ث \(x \ge \frac{1}{x} \,;\, x \neq 0\)
2 در هر مورد گزاره‌ای همراه با یک استدلال نادرست برای آن داده شده است. دلیل نادرستی استدلال را بیان کنید.
الف اگر طول و عرض یک مستطیل را دو برابر کنیم، آن‌گاه مساحت آن نیز دو برابر می‌شود.
طول : x
عرض : y
مساحت S = xy
\(2(xy) = 2\underbrace {xy}_S = 2S \to \)مساحت دو برابر شده است
ب در یک مثلث قائم‌الزاویه به اضلاع قائمه a و b و وتر c همانند شکل زیر اگر ضلع $a$ را دو برابر کنیم، آن‌گاه وتر آن نیز دو برابر می‌شود.
استدلال : می‌دانیم در مثلث قائم‌الزاویه بالا قضیه فیثاغورث به صورت زیر برقرار است :
\(c^2 = a^2 + b^2\)
اکنون این رابطه را برای مثلث قائم‌الزاویه جدید نیز می‌نویسیم :
\({c'^2} = {(2a)^2} + {b^2} = 4{a^2} + {b^2} = 4(\underbrace {{a^2} + {b^2}}_{{c^2}}) = 4{c^2} \Rightarrow {c'^2} = 4{c^2}\mathop \to \limits^{\sqrt {\,\,\,\,\,\,} } c' = 2c\)
پس وتر دو برابر شده است.
پ تساوی \(\sqrt {\frac{{12 \times 3 + 4 \times 16}}{6}} = 2\sqrt {11} \) برقرار است.
\(\sqrt {\frac{{12 \times 3 + 4 \times 16}}{6}} = \sqrt {\frac{{12 \times \not 3 + 4 \times 16}}{{2 \times \not 3}}} = \sqrt {\frac{{12 + \mathop {\not 4}\limits^2 \times 16}}{{\not 2}}} = \sqrt {12 + 32} = \sqrt {44} = \sqrt {4 \times 11} = 2\sqrt {11} \)
الف استدلال نادرست است، مسئله اشاره به دو برابر کردن اضلاع داشته است. در اینجا مساحت را دو برابر کرده است. می‌توان با مثال نیز نادرستی استدلال را نشان داد.
\(\begin{array}{l}a = 3 \Rightarrow x = 3 \times 2 = 6\\\\b = 5 \Rightarrow y = 5 \times 2 = 10\end{array}\)
مساحت مستطیل اولیه \(a \times b = 3 \times 5 = 15\)
مساحت مستطیل ثانویه \(x \times y = 6 \times 10 = 60\)
مشاهده می‌کنیم که مساحت چهار برابر شده است، نه دو برابر.
ب استدلال در مرحله \(4a^2 + b^2 = 4(a^2 + b^2)\) باطل می‌شود. به این مثال توجه کنید.
\(\begin{array}{l}a = 3{\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} b = 5\\\\4{a^2} + {b^2} = 4{(3)^2} + {5^2} = 36 + 25 = 61\\\\4({a^2} + {b^2}) = 4({3^2} + {5^2}) = 4(34) = 136\end{array}\)
پ استدلال در اولین قدم، (ساده کردن ۳ از صورت و مخرج) باطل می‌شود، ابتدا باید حاصل صورت را به دست آوریم و سپس در صورت امکان ساده کنیم.
\(\sqrt {\frac{{12 \times 3 + 4 \times 16}}{6}} = \sqrt {\frac{{36 + 64}}{6}} = \sqrt {\frac{{100}}{6}} = \frac{{10}}{{\sqrt 6 }} = \frac{{10}}{6}\sqrt 6 = \frac{5}{3}\sqrt 6 \)
1736019749.png)
