گام به گام پرسش ها و مسئله های فصل 5 صفحه 148 درس ترمودینامیک فیزیک (1) رشته ریاضی

3-5 انرژی درونی و قانون اول ترمودینامیک

1) ظرفی شامل 3 کیلوگرم آب است. با هم زدن آب داخل ظرف، 40 کیلوژول کار روی آن انجام می دهیم و در این مدت 31 کیلوژول گرما از ظرف به بیرون منتقل می شود. انرژی درونی آب چقدر تغییر می کند؟

  4-5 برخی فرایندهای ترمودینامیکی

2) الف) در فرایند هم حجم چگونه می توان فشار گاز را افزایش یا کاهش داد؟

ب) در فرایند هم فشار چگونه می توان حجم گاز را افزایش یا کاهش داد؟

3) ته یک سرنگ را که دسته آن می تواند آزادانه حرکت کند مسدود می کنیم، آن را درون مقداری آب می اندازیم و آب را به تدریج گرم می کنیم. هوای درون سرنگ چه فرایندی را طی می کند؟

4) نمودار P-V ی گازی رقیق در شکل زیر نشان داده شده است. در این فرایند با فرض آنکه انرژی درونی در (1) برابر 456 ژول و در نقطه (2) برابر 912 ژول باشد، چقدر گرما مبادله شده است؟ آیا گاز گرما گرفته است یا از دست داده است؟

5) گازی مطابق شکل، از طریق مسیر abc از حالت a به c می رود. گاز در این مسیر، 9 ژول گرما می گیرد و 70 ژول کار انجام می دهد. الف) تغییر انرژی درونی گاز در مسیر abc چقدر است؟

ب) اگر برای رسیدن به حالت c فرایند از مسیر adc انجام شود، کار انجام شده توسط گاز در مقایسه با مسیر abc بیشتر است یا کمتر؟ گرمای داده شده به گاز بیشتر است یا کمتر؟

پ) اگر گاز را از مسیر خمیده از حالت c به حالت a برگردانیم، چقدر باید از آن انرژی بگیریم؟

6) یک مکعب آلومینیمی توپر به ضلع 20 سانتی متر از 50 درجه تا 150 درجه سانتی گراد در فشار متعارف جو (10⁵ × 1/01 پاسکال) گرم می شود. کار انجام شده توسط مکعب و تغییر انرژی درونی آن را محاسبه کنید.

7) مطابق شکل زیر، حجم گازی آرمانی طی سه فرایند هم فشار، هم دما و بی در رو از V₁به حجم بزرگ تر V₂می رسد.

الف) اندازه کار انجام شده توسط گاز را در این سه فرایند مقایسه کنید. ب) دمای نهایی را در این فرایندها مقایسه کنید. پ) گرمای داده شده به گاز را در این فرایندها مقایسه کنید.

5-5 چرخه ترمودینامیکی

8) برای چرخه گازی که نمودار P-V ی آن در اینجا نشان داده شده است، تغییرات انرژی گاز، W  و Q مثبت است یا منفی، و یا برابر صفر است؟

9) شکل زیر چرخه ای را نشان می دهد که یک گاز طی کرده است.

الف) تعیین کنید که گاز در این چرخه گرما گرفته یا از دست داده است؟

ب) اگر مقدار گرمای مبادله شده در این چرخه 400 ژول باشد، کار انجام شده روی گاز چقدر است؟

10) یک گاز کامل چرخه نشان داده شده در شکل زیر را می پیماید. دمای گاز در حالت (1) برابر 200 کلوین است. الف) دما در سه نقطه دیگر چقدر است؟

ب) کار انجام شده درچرخه چقدر است؟

پ) در چه فرایندهایی گاز گرما گرفته است؟

ت) در چه فرایندهایی گاز گرما از دست داده است؟

11) گاز داخل یک استوانه، چرخه ای مطابق شکل زیر را می پیماید. گرمای مبادله شده در این چرخه چند ژول است؟

12) دستگاهی متشکل از 0/32 مول گاز کامل تک اتمی حجمی برابر 2/2 لیتر را در فشار 2/4 اتمسفر اشغال کرده است. این دستگاه چرخه ای مطابق شکل را می پیماید که در آن فرایندی هم دما است. الف) دما در نقاط B ، A و C چقدر است؟  ب) تغییرات انرژی را برای هر یک از سه فرایند چرخه به دست آورید.

5_6 ماشین های گرمایی

13) یک ماشین گرمایی در هر چرخه 100 ژول گرما از منبع دما بالا می گیرد و 60 ژول گرما به منبع دما پایین می دهد.  الف) بازده این ماشین چقدر است؟ ب) اگر هر چرخه 0/500s طول بکشد، توان خروجی این ماشین چقدر است؟

14) یک ماشین گرمایی درون سوز در هر چرخه 8 کیلوژول گرما از سوزاندن سوخت دریافت می کند و 2 کیلوژول کار تحویل می دهد. گرمای حاصل از سوخت 10⁴ × 5 ژول بر گرم است و ماشین در هر ثانیه 40 چرخه را می پیماید. کمیت های زیر را حساب کنید.

الف) بازده ماشین ، ب) با فرض آرمانی بودن ماشین، گرمای تلف شده در هرچرخه، پ) سوخت مصرف شده در هرچرخه و ت) توان ماشین.

1) از قانون اول ترمودینامیک داریم:

2) الف) همان طور که در متن درس اشاره شده است، اگر پیستون را با گیره هایی ثابت کنیم و دمای گاز را با استفاده از یک منبع گرما به تدریج افزایش یا کاهش دهیم، فشار گاز طی یک فرایند هم حجم ایستاوار، افزایش یا کاهش می یابد.

ب) این مورد نیز در متن درس توضیح داده شده است. در اینجا نیز با افزایش دمای کند و تدریجی توسط منبع گرما، در هر مرحله به علت اختلاف دمای جزئی بین منبع و دستگاه، مقدار کمی گرما به گاز منتقل می شود که در نتیجه آن گاز کمی منبسط می شود و پیستون را که حالا آزاد است اندکی به طرف بالا جابه جا می کند. اگر گرما دادن را به همین روش به صورت آهسته ادامه دهیم، گاز به کندی منبسط می شود وپیستون به طور ایستاوار به بالا حرکت می کند. شتاب حرکت پیستون چنان کم اسن که می توان گفت در طی گرما دادن همواره فشار گاز می ماند. برای کاهش حجم استاوار و هم فشار گاز نیز، به روش مشابه، دمای منبع گرما را به تدریج و به کندی کاهش می دهیم.

3) این آزمایش مشابه حالتی است که گاز محبوس استوانه ای با پیستون آزاد در تماس با یک منبع گرما با دمای قابل تنظیم است و دمای منبع به آرامی بالا می رود.

به علت اخلاف جزئی دمای بین منبع (آب) و هوای درون سرنگ، گرما به کندی به هوای محبوس درون سرنگ منتقل می شود و هوا به آزامی (در فشار ثابت) اندکی منبسط می گردد و پیستون، سرنگ را اندکی به جلو می راند. اگر گرما دادن را به همین روش تدریجی ادامه دهیم، ضمن افزایش دما و حجم هوای درون سرنگ، پیستون به آهستگی حرکت می کند. همان طور که گفتیم این فرایند در فشار ثابت رخ می دهد. زیرا وقتی سرنگ به طور افقی درون آب قرار گرفته است، اختلاف فشاری بین درون سرنگ و آب بیرون آن وجود ندارد و به محض اینکه یکی از این دو فشار اندکی افزایش یا کاهش یابد، پیستون جا به جا می گردد تا دوباره فشارها برابر شوند و چون در اینجا فشار آب تغییر نمی کند، فشار درون سرنگ هم تغییر نخواهد کرد و انبساطی هم فشار خواهیم داشت.

4) پاسخ به صورت زیر خواهد بود:

و آنگاه با استفاده از قانون اول

ترمودینامیک داریم:

چون Q مثبت شده است این بدین معنی است که گاز گرما گرفته است.

5) الف) نخست قانون اول ترمودینامیک را برای مسیر abc می نویسیم:

ب) قدر مطلق کار انجام شده برابر با مساحت زیر نمودار فرایند در صفحه P-V است. بنابراین، بدیهی است که مساحت زیر مسیر adc کمتر از مساحت زیر مسیر abc است و در نتیجه مقدار کار در مسیر adc کمتر از مقدار کار در مسیر abc است. از طرفی در هر دو فرایند گاز انبساط یافته است و بنابراین کار محیط منفی و کار دستگاه (گاز) مثبت است. بنابراین کار گاز نیز در مسیر adc کمتر از مسیر abc است. برای مقایسه گرمای داده شده به گاز، باید از قانون اول ترمودینامیک استفاده کنیم: Q=U-W. چون تغییرات U برای هر دو مسیر یکسان است باید W ها را با هم مقایسه کنیم. چون مقدار کار در مسیر adc کوچک است و از طرفی W کار محیط روی گاز و در هر دو مسیر منفی است پس W_adc > W_abc است و در نتیجه Q در مسیر adc کوچک تر است.

ب) چرخه بسته ای را در نظر بگیرید که شامل مسیر abc و مسیر خمیده بازگشت است. چون

نتیجه می گیریم که باید به اندازه از گاز انرژی بگیریم البته چون در این بخش، هنوز چرخه مطرح نشده است می توانیم این طور نیز استدلال کنیم:

6) با استفاده از تعریف کار و رابطه انبساط حجمی داریم:

توجه کنید که کار انجام شده در برابر Q بسیار ناچیز و اهمیت ندارد که این فرایند در خلأ صورت گیرد (w=0) یا خیر، تغییر انرژی درونی در دو حالت یکسان است.

7) الف) قدر مطلق کار برابر با مساحت زیر نمودار فرایند ترمودینامیک ها در صفحه P-V است. از روی شکل دیده می شود که مقدار مساحت زیر نمودار فرایند هم فشار از همه بیشتر و مساحت زیر نمودار فرایند بی دررو از همه کمتر است. بنابراین مقدار کار انجام شده از کمترین تا بیشترین به ترتیب بی دررو، هم دما و هم فشار است. البته در سوال از کار گاز روی محیط پرسیده شده است که با توجه به انبساطی بدون هر سه فرایند، برای هر فرایند مقداری مثبت است. پس همین  مقایسه در مورد خود کارها نیز درست است.

ب) از قانون گازهای کامل ئدر می یابیم که در فرایند هم فشار با افزایش حجم، دما افزایش می یابد. در فرایند هم دما نیز بدیهی است که دما ثابت می ماند. در فرایند بی دررو نیز از قانون اول ترمودینامیک در می یابیم که در انبساط، کاهش دما داریم. این موارد همگی در شکل نیز مشخص شده است. بنابراین دمای نهایی در این سه فرایند از کمترین تا بیشترین به ترتیب بی دررو، هم دما و هم فشار می شود.

پ) در فرایند بی دررو Q=0 و در فرایندهای هم دما و هم فشار Q > 0 است. برای مقایسه فرایندهای هم دما و هم فشار نیز باید به قانون اول ترمودینامیک رجوع کنیم. با توجه به اینکه تغییر انرژی درونی و مقدار کار در فرایند هم دما از فرایند هم فشار کمتر است و نیز کار در هر دو فرایند منفی است. بنابراین در این مورد نیز ترتیب گرمای داده شده به ترتیب از کمترین تا بیشترین، بی دررو، هم دما و هم فشار می شود.

8) در چرخه های پادساعتگرد در صفحه P-V کار محیط (W) مثبت است. با این حال اینجا می خواهیم اثباتی برای این چچرخه ارائه دهیم. از قانون اول ترمودینامیک داریم U=Q+W که در آن W کار محیط است. توجه کنید که در اینجا فرایندی چرخه ای داریم و U=0 است. در مورد علامت W نیز می توانیم این فرایند چرخه ای را به سه بخش تقسیم کنیم. بدیهی است که در فرایند هم حجم، کار صفر است. اما مساحت زیر فرایند هم فشاری که در آن حجم کاهش یافته است، بیشتر از فرایند دیگری است که در آن افزایش حجم داریم. بنابراین کار محیط مثبت و کار دستگاه منفی است. اکنون با توجه به قانون اول ترمودینامیک برای فرایند چرخه ای می دانیم Q=-W است و بنابراین Q نیز منفی است.

9) الف) در فرایند چرخه ای U=0 است و در نتیجه از قانون اول ترمودینامیک نتیجه می گیریم Q=-W است و با توجه به اینکه چرخه ساعتگرد طی شده است کار محیط منفی است. (توجه کنید که نیازی به حفظ کردن نیست و می توانید همواره با مقایسه مساحت زیر منحنی ها به منفی یا مثبت بودن کار پی ببرید.) بنابراین Q مثبت می شود و دستگاه گرما می گیرد.

ب) در قسمت الف دیدیم که Q مثبت است و در نتیجه داریم:

10( الف) با استفاده از قانون گازهای کامل داریم:

با جایگذاری  V₁=V₂ , P₂=3atm , P₁=1atmو  T₁ = 200 Kبه  T₂ = 600 Kمی رسیم. که با توجه به قواعد محاسبه ارقام معنی دار باید به صورت 6´10² بیان شود. اکنون با استفاده از قانون گازهای کامل T₃ و T₄ را نیز به دست می آوریم.

ب) در فرایندهای 2®1 و 3®2 دمای گاز زیاد شده است و با توجه به رابطه های Q=nC_VΔT و Q=nC_PΔT در می یابیم گاز گرما می گیرد.

ت) در فرایندهای 4®3 و 1®4 دمای گاز کم شده و با توجه به رابطه های Q=nC_VΔT و Q=nC_PΔT در می یابیم گاز گرما از دست می دهد.

توجه: می توانیم مقدار این گرماها را نیز محاسبه کنیم. مثلا برای قسمت پ) انجام می دهیم. برای این گرما داریم

برای محاسبه nR از قانون گازهای کامل استفاده می کنیم:

در نتیجه داریم:

11) چون فرایندی چرخه ای داریم تغییرات U=0 است. بنابراین Q=-W می شود که در آن W کار محیط است. از طرفی می دانیم مقدار کار انجام شده در چرخه برابر است با مساحت محصور در چرخه است و در چرخه های ساعتگرد کار انجام شده بر روی دستگاه منفی است بنابراین

 و از آنجا  Q=3´10³ می شود.

12) الف)

ب) فرایند  B®Aرا با شاخص پایین 1 و فرایند  C®Bرا با شاخص پایین 2 و فرایند  B®Aرا با شاخص پایین 3 نشان می دهیم.

(که البته این نتیجه را می توانیم از رابطه ΔU=nC_VΔT نیز به دست آوریم.)

(توجه کنید که دلتا U₂ را می توانستیم به طور مستقیم، با توجه به اینکه در چرخه انرژی درونی کل برابر صفر است و فرایند  A®Cفرایندی هم دما است   (ΔU₂=0)برابر قرینه ΔU₁ بگیریم.) تفاوت ΔU₁ و ΔU₂ به دست آمده، در نظر گرفتن محاسبات با ارقام معنی دار رخ داده است.

13) الف) بازده ماشین گرمایی آرمانی برابر است با:

ب)

14) الف) بازده ماشین برابر است با

ب) گرمای تلف شده در هر چرخه برابر است با:

پ) سوخت مصرف شده در هر چرخه برابر است با:

ت) توان ماشین برابر است با: