گام به گام مسئله صفحه 114 درس 7 ریاضی نهم (عبارت های گویا)

طول مستطیلی 4 سانتی متر از عرض آن بیشتر است. اگر نسبت عرض به طول این مستطیل \(\frac{2}{3}\) باشد، طول و عرض آن را به دست آورید.

اگر x را عرض مستطیل درنظر بگیریم، طول آن x+4 است و نسبت عرض به طول را می توان یا \(\frac{x}{{x + 4}}\) نمایش داد؛ بنابراین:

\(\frac{x}{{x + 4}} = \frac{2}{3}\)

\( \Rightarrow 3x = 2x + 8 \Rightarrow x = 8\) طول      عرض \( = 12\)

عبارت \(\frac{x}{{x + 4}}\) را، که نسبت دو چندجمله ای است، عبارت گویا می نامیم.

از عبارت های گویا در ریاضیات، علوم، پزشکی، مهندسی، اقتصاد و بسیاری از زمینه های دیگر استفاده می شود؛ به طور مثال سرعت متوسط اتومبیلی که مسیری را با سرعت \({v_1}\) طی کرده و سپس از همان مسیر با سرعت \({v_2}\) بازگشته است، از رابطهٔ \(\frac{{2{v_1}{v_2}}}{{{v_1} + {v_2}}}\) به دست می آید که عبارت گویای جبری است. برخی از مثال های دیگر از این قرار است:

محاسبۀ جرم یک جسم با سرعت v و انرژی جنبشی k

\(\frac{{2k}}{{{v^2}}}\)

میانگین حسابی دو عدد a و b

\(\frac{{a + b}}{2}\)

با توجه به تعریف بالا عبارت های زیر گویا هستند:

\(\begin{array}{l}\frac{{2x - 5}}{{5{x^3} - 2{x^2} + 1}}\,\,\,,\,\,\,\frac{{x + 5}}{{x - 1}}\\\\\frac{{ - a}}{4}\,\,\,,\,\,\,\frac{2}{5}\\\\\frac{{x - 3}}{4}\,\,\,,\,\,\,\frac{x}{y}\\\\\frac{{{x^2} - \sqrt 3 x + 1}}{{9xy}}\,\,\,,\,\,\,\frac{1}{x}\\\\\frac{{10}}{{x + 2}}\,\,\,,\,\,\,\frac{{3x + \sqrt 7 }}{{{x^2}}}\\\\\frac{{x{y^2}}}{{{{(x - y)}^2}}}\,\,\,,\,\,\,\frac{{{x^3}}}{1}\\\\\frac{{ - a}}{b}\,\,\,,\,\,\,{x^3} + 2x - 7\end{array}\)

امّا عبارت های زیر گویا نیستند. (چرا؟)

\(\sqrt {xy} \,\,\,,\,\,\,\frac{{\sqrt x }}{{x + y}}\,\,\,,\,\,\,\left| {x - y} \right|\,\,\,,\,\,\,\frac{1}{{\sqrt {x - 2} }}\)