شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | بردار در فضای سه بعدی](https://dl2.my-dars.com/upload/image/051744030291.jpg)
هر پاره خط جهت دار را یک بردار هندسی می نامند. برداری که نقطه ابتدای آن A و نقطه انتهای آن B باشد را به صورت \(\mathop {AB}\limits^ \to \) نشان می دهند.
هر بردار دارای سه مشخصه است:
فرض کنید \(A\left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\) نقطه ای دلخواه در فضای \({R^3}\) باشد. پاره خط جهت دار با نقطه ی شروع مبدا \(O\left( {0,0,0} \right)\) و نقطه پایان \(A\left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\) را یک بردار در فضای \({R^3}\) می گوییم.
\(\mathop {OA}\limits^ \to = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)
1) مختصات برداری که ابتدای آن نقطه \(A\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\) و مختصات انتهای \(B\left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)\) باشد عبارت است از:
\(\mathop {AB}\limits^ \to = \left( {{x_2} - {x_1},{y_2} - {y_1},{z_2} - {z_1}} \right)\)
2) برداری که ابتدا و انتهای آن یک نقطه باشد، بردار صفر نامیده می شود و آن را به صورت \(\mathop O\limits^ \to = \left( {0,0,0} \right)\) نشان می دهند.
3) تساوی دو بردار
دو بردار \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\) و \(\mathop b\limits^ \to \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\) مساوی هستند، اگر و تنها اگر مولفه های آنها نظیر به نظیر برابر باشند.
\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to = \mathop b\limits^ \to \Leftrightarrow \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right) = \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\\\\{a_1} = {b_1}\\\\{a_2} = {b_2}\\\\{a_3} = {b_3}\end{array}\)
مثال
مقادیر m و n را طوری بیابید که دو بردار \(\mathop a\limits^ \to \left( {2m,3, - 7} \right)\) و \(\mathop b\limits^ \to \left( {4,n - 1, - 7} \right)\) باهم مساوی باشند.
\(\begin{array}{l}2m = 4 \Rightarrow m = 2\\\\n - 1 = 3 \Rightarrow n = 4\end{array}\)
4) اندازه (طول) یک بردار
طول یا اندازه بردار \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\) را با علامت \(\left| a \right|\) نشان داده و از فرمول زیر محاسبه می کنیم:
\(|\mathop a\limits^ \to | = \sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \)
مثال
طول بردار \(\mathop a\limits^ \to \left( { - 3,0,4} \right)\) را بیابید.
\(|\mathop a\limits^ \to | = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {0^2} + {4^2}} = \sqrt {9 + 16} = 5\)
5) زاویه بین دو بردار غیر صفر \(\mathop a\limits^ \to \) و \(\mathop b\limits^ \to \) را زاویه ای مانند \(\theta \) در نظر می گیریم که:
\(0 \le \theta \le \pi \)
6) ضرب عدد در بردار
اگر m یک عدد حقیقی و \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\) یک بردار باشد، حاصل ضرب m در بردار a به صورت زیر تعریف می کنیم:
\(m\mathop a\limits^ \to \left( {m{a_1},m{a_2},m{a_3}} \right)\)
7) قرینه بردار
اگر \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\) یک بردار باشد قرینه \(\mathop a\limits^ \to \) را با علامت \( - \mathop a\limits^ \to \) نشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم:
\( - \mathop a\limits^ \to \left( { - {a_1}, - {a_2}, - {a_3}} \right)\)
8) جمع بردار ها
اگر \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\) و \(\mathop b\limits^ \to \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\) دو بردار باشند، مجموع آنها را با علامت \(\mathop a\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to \) نشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم:
\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right) + \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\\\\ \Rightarrow \left( {{a_1} + {b_1},{a_2} + {b_2},{a_3} + {b_3}} \right)\end{array}\)
به همین ترتیب داریم:
\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to - \mathop b\limits^ \to = \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right) - \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\\\\ \Rightarrow \left( {{a_1} - {b_1},{a_2} - {b_2},{a_3} - {b_3}} \right)\end{array}\)
بردار های \(\mathop a\limits^ \to \left( {2, - 1,3} \right)\) ، \(\mathop b\limits^ \to \left( { - 1,3, - 2} \right)\) و \(\mathop c\limits^ \to \left( {2,4,1} \right)\) مفروض است بردار \(2a + b - c\) را بدست آورده، سپس طول آن را بیابید.
\(\begin{array}{l}2a + b - c\\\\ \Rightarrow 2\left( {2, - 1,3} \right) + \left( { - 1,3, - 2} \right) - \left( {2,4,1} \right)\\\\ \Rightarrow \left( {1, - 3,3} \right)\\\\\left| {2a + b - c} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {19} \end{array}\)
تهیه کننده: امیرحسین مطلبی
1736019749.png)
