شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | مساحت ساخته شده دو بردار](https://dl2.my-dars.com/upload/image/091744030491.jpg)
مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده روی دو بردار
اگر \(\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \) دو بردار غیر صفر باشند، که زاویه بین آنها \(\theta \) باشد، مساحت متوازی الاضلاعی که توسط دو بردار ساخته می شود و \(\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \) دو ضلع مجاور آن هستند برابر است با اندازه حاصل ضرب خارجی دو بردار \(\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \) :
\(S = |\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to |\)
مثال
مساحت متوازی الاضلاعی که توسط بردار های \(\mathop a\limits^ \to \left( { - 1,0,1} \right)\) و \(\mathop b\limits^ \to \left( {0,1,1} \right)\) تولید می شود را بدست آورید.
\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = \left( { - 1, - 1, - 1} \right)\\\\S = |\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to | = \sqrt {1 + 1 + 1} = \sqrt 3 \end{array}\)
مساحت مثلثی که به وسیله دو بردار \(\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \) ساخته می شود برابر است با:
\(S = \frac{1}{2}|\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to |\)
مثال
مساحت مثلث \(\mathop {ABC}\limits^\Delta \) به رئوس \(A = \left( {1,2,0} \right)\) ، \(B = \left( {3,0, - 3} \right)\) و \(C = \left( {5,2,6} \right)\) را بیابید.
\(\begin{array}{l}\mathop {AB}\limits^ \to = \left( {3 - 1,0 - 2, - 3 - 0} \right) = \left( {2, - 2, - 3} \right)\\\\\mathop {AC}\limits^ \to = \left( {5 - 1,2 - 2,6 - 0} \right) = \left( {4,0,6} \right)\\\\\mathop {AB}\limits^ \to \times \mathop {AC}\limits^ \to = \left( { - 12, - 24,8} \right)\\\\S = \frac{1}{2}|\mathop {AB}\limits^ \to \times \mathop {AC}\limits^ \to | = \frac{1}{2}\sqrt {144 + 576 + 64} \\\\ \Rightarrow \frac{1}{2}\sqrt {784} = \frac{1}{2} \times 28 = 14\end{array}\)
اگر \(\mathop c\limits^ \to \;,\;\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \) سه بردار باشند که در یک صفحه نباشند، حجم متوازی السطوحی که روی این سه بردار ساخته می شود، به طوری که سه بردار یال های مجاور آن باشند از رابطه زیر محاسبه می شود:
\(V = |\mathop a\limits^ \to .(\mathop b\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to )| = |\mathop b\limits^ \to .(\mathop c\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to )| = |\mathop c\limits^ \to .(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to )|\)
مثال
حجم متوازی السطوحی را بدست آورید که توسط بردار های \(\mathop a\limits^ \to = \left( {1,1,0} \right)\) ، \(\mathop b\limits^ \to = \left( {0,1,1} \right)\) و \(\mathop c\limits^ \to = \left( {1,0,1} \right)\) تولید می شود.
\(\begin{array}{l}\mathop b\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to = \left( {1,1, - 1} \right)\\\\V = |\mathop a\limits^ \to .(\mathop b\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to )| = |1 + 1 + 0| = 2\end{array}\)
سه بردار \(\mathop c\limits^ \to \;,\;\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \) را هم صفحه گویند هرگاه:
\(\mathop a\limits^ \to \times (\mathop b\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to ) = 0\)
1 مساحت مثلثی که رئوس آن با نقاط \(A = \left( {3,5,7} \right)\) ، \(B = \left( {5,5,0} \right)\) و \(C = \left( { - 4,0,4} \right)\) داده شده را بیابید.
\(\begin{array}{l}\mathop {AB}\limits^ \to = \left( {2,0, - 7} \right)\\\\\mathop {AC}\limits^ \to = \left( { - 7, - 5, - 3} \right)\\\\\mathop {AB\;}\limits^ \to \times \;\mathop {AC}\limits^ \to = \left( { - 35,55, - 10} \right)\\\\|\mathop {AB\;}\limits^ \to \times \;\mathop {AC}\limits^ \to | = \sqrt {{{\left( { - 35} \right)}^2} + {{55}^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2}} \\\\ \Rightarrow |\mathop {AB\;}\limits^ \to \times \;\mathop {AC}\limits^ \to | = \sqrt {4350} \\\\S = \frac{1}{2}|\mathop {AB\;}\limits^ \to \times \;\mathop {AC}\limits^ \to | = \frac{1}{2}\sqrt {4350} \end{array}\)
2 ثابت کنید سه بردار \(\mathop c\limits^ \to = \left( {3, - 4,7} \right)\;,\;\mathop b\limits^ \to = \left( {1,2, - 3} \right)\;,\;\mathop a\limits^ \to = \left( {2, - 1,2} \right)\) هم صفحه اند.
\(\begin{array}{l}\mathop b\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to = \left( {2, - 16, - 10} \right)\\\\\mathop a\limits^ \to \; \times \;(\mathop b\limits^ \to \; \times \;\mathop c\limits^ \to ) = \left( {2, - 1,2} \right) \times \left( {2, - 16, - 10} \right)\\\\ \Rightarrow \mathop a\limits^ \to \; \times \;(\mathop b\limits^ \to \; \times \;\mathop c\limits^ \to ) = 4 + 16 - 20 = 0\end{array}\)
تهیه کننده: امیرحسین مطلبی
1736019749.png)
