ضرب خارجی

فرض کنیم \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)  و \(\mathop b\limits^ \to \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\)  دو بردار باشند، ضرب خارجی \(\mathop a\limits^ \to \) در \(\mathop b\limits^ \to \) را با علامت \(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to \)  نشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم:

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}i&j&k\\{{a_1}}&{{a_2}}&{{a_3}}\\{{b_1}}&{{b_2}}&{{b_3}}\end{array}} \right|\\\\\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_2}}&{{a_3}}\\{{b_2}}&{{b_3}}\end{array}} \right|\mathop i\limits^ \to - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_3}}\\{{b_1}}&{{b_3}}\end{array}} \right|\mathop j\limits^ \to + \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_2}}\\{{b_1}}&{{b_2}}\end{array}} \right|\mathop k\limits^ \to \\\\\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}, - {a_1}{b_3} + {a_3}{b_1},{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\end{array}\)

از نظر هندسی

ضرب خارجی دو بردار بر هر دو بردار \(\mathop a\limits^ \to \) و \(\mathop b\limits^ \to \) و صفحه تشکیل دهنده از دو بردار \(\mathop a\limits^ \to \) و \(\mathop b\limits^ \to \)، عمود است.

\(\begin{array}{l}\mathop i\limits^ \to \times \mathop j\limits^ \to = \mathop k\limits^ \to \;\;\;\;,\;\;\;\;\mathop j\limits^ \to \times \mathop i\limits^ \to = - \mathop k\limits^ \to \\\\\mathop j\limits^ \to \times \mathop k\limits^ \to = \mathop i\limits^ \to \;\;\;\;,\;\;\;\;\mathop k\limits^ \to \times \mathop j\limits^ \to = - \mathop i\limits^ \to \\\\\mathop k\limits^ \to \times \mathop i\limits^ \to = \mathop j\limits^ \to \;\;\;\;,\;\;\;\;\mathop i\limits^ \to \times \mathop k\limits^ \to = - \mathop j\limits^ \to \end{array}\)

1) ضرب خارجی دو بردار خاصیت جا به جایی ندارد ولی:

\(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = - \mathop b\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to \)

2) ضرب خارجی هر بردار در خودش برابر بردار صفر است.

\(\mathop a\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \)

اثبات:

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to = - \mathop a\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to \Rightarrow \mathop a\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to + \mathop a\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to = 0\\\\ \Rightarrow 2(\mathop a\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to ) = 0 \Rightarrow \mathop a\limits^ \to \times \mathop a\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \\\\\mathop i\limits^ \to \times \mathop i\limits^ \to = \mathop j\limits^ \to \times \mathop j\limits^ \to = \mathop k\limits^ \to \times \mathop k\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \end{array}\)

3) ضرب خارجی هر بردار در بردار صفر، برابر بردار صفر است.

\(\mathop a\limits^ \to \times \mathop 0\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \)

4) برای هر دو بردار \(\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \)  و هر عدد حقیقی m داریم:

\(m\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = \mathop a\limits^ \to \times m\mathop b\limits^ \to = m(\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to )\)

5) ضرب داخلی بردار ها نسبت به جمع بردار ها، خاصیت توزیع پذیری دارد:

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to \times (\mathop b\limits^ \to + \mathop c\limits^ \to ) = \mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to + \mathop a\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to \\\\(\mathop a\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to ) \times \mathop c\limits^ \to = \mathop a\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to + \mathop b\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to \end{array}\)

6) ضرب خارجی بردار ها خاصیت شرکت پذیری ندارد:

\(\mathop a\limits^ \to \times (\mathop b\limits^ \to \times \mathop c\limits^ \to ) \ne (\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to ) \times \mathop c\limits^ \to \)

7) فرض کنیم \(\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \)  دو بردار دلخواه باشند، در این صورت:

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to \times (\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to ) = 0\\\\\mathop b\limits^ \to \times (\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to ) = 0\end{array}\)

اثبات:

فرض کنیم \(\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\)  و \(\mathop b\limits^ \to \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\)  در نتیجه:

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to \times (\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to ) = 0\\\\\mathop a\limits^ \to \left( {{a_1},{a_2},{a_3}} \right)\\\\\mathop b\limits^ \to \left( {{b_1},{b_2},{b_3}} \right)\\\\{a_1}\left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2}} \right) + {a_2}\left( {{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3}} \right) + {a_3}\left( {{a_1}{b_1} - {a_2}{b_1}} \right) = 0\end{array}\)

8) برای هر دو بردار غیر صفر a و b که زاویه بین آنها \(\theta \) باشد، داریم:

\(|\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to | = |\mathop a\limits^ \to | \times |\mathop b\limits^ \to |\sin \theta \)

9) برای هر دو بردار غیر صفر \(\mathop b\limits^ \to \;,\;\mathop a\limits^ \to \) ، بردار \(\mathop a\limits^ \to \) با \(\mathop b\limits^ \to \) موازی است، اگر و فقط اگر:

\(|\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to | = 0\;\; \vee \;\;\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \)

اثبات:

\(\begin{array}{l}\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to = \mathop 0\limits^ \to \Leftrightarrow |\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to | = 0\\\\|\mathop a\limits^ \to \times \mathop b\limits^ \to | = 0 \Leftrightarrow \left| a \right|\left| b \right|\sin \theta = 0\\\\\left| a \right|\left| b \right|\sin \theta = 0 \Leftrightarrow \sin \theta = 0 \Leftrightarrow \theta = 0\\\\\theta = 0 \Leftrightarrow a\parallel b\end{array}\)