جواب فصل 2 عددهای حقیقی ریاضی نهم

اعداد 3 ، 4 و 5 بزرگتر مساوی 3 هستند.

روش مریم

1 ابتدا هر دو کسر را هم مخرج کرده و سپس اعداد \(\frac{1}{2} = \frac{3}{6}\) و \(\frac{1}{3} = \frac{2}{6}\) را روی محور مشخص کرده است.

2 برای بدست آوردن یک عدد بین این دو عدد هر قسمت را به دو قسمت مساوی تقسیم کرده، لذا یک واحد به دوازده قسمت مساوی تقسیم می شود بنابراین \(\frac{1}{2} = \frac{3}{6} = \frac{6}{{12}}\) و \(\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{4}{{12}}\) می باشد و کسر \(\frac{5}{{12}}\) طبق شکل بین این دو عدد قرار می گیرد.

3 در این مرحله به جای تقسیم هر کدام از قسمت های کوچک به دو قسمت مساوی، هر کدام از آن ها را به 3 قسمت مساوی تقسیم می کند، لذا واحد به 18 قسمت مساوی تقسیم می شود بنابراین \(\frac{1}{2} = \frac{9}{{18}}\) و \(\frac{1}{3} = \frac{6}{{18}}\) می باشد و دو کسر \(\frac{7}{{18}}\) و \(\frac{8}{{18}}\) بین این دو عدد قرار می گیرد.

روش بهار

بهار دقیقا کار مریم را انجام داده است ولی محور رسم نکرده است. روش مریم مفهومی تر ولی روش بهار سریع تر می باشد، می توانیم بگوییم روش بهار نتیجه روش مریم می باشد.

روش مهناز

مهناز پس از مشخص کردن جای دو عدد روی محور از خاصیت میانگین دو عدد کمک گرفته است:

\(a < \frac{{a + b}}{2} < b\)

میانگین دو عدد \(\frac{1}{2}\) و \(\frac{1}{3}\) برابر \(\frac{5}{{12}}\) پس داریم:

\(\frac{1}{3} < \frac{5}{{12}} < \frac{1}{2}\)

در مرحله ی دوم ابتدا میانگین \(\frac{1}{3}\) و \(\frac{5}{{12}}\) و سپس میانگین \(\frac{1}{2}\) و \(\frac{5}{{12}}\) را بدست اورده است.

روش عطیه

عطیه هم دقیقا از روش مهناز استفاده کرده است، فقط محور رسم نکرده است.

الف

روش مریم

مریم می تواند یک واحد را به تعداد زیادی قسمت مساوی تقسیم کند و تعداد زیادی کسر بین این دو عدد بنویسد، اگر هر قسمت را به 100 قسمت مساوی تقسیم کند 99 عدد گویا بین این دو کسر می تواند بنویسد:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{2} = \frac{3}{6} = \frac{{300}}{{600}}\quad ,\quad \frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{{200}}{{600}}\\\\\frac{1}{3} < \frac{{201}}{{600}}\,,\,\frac{{202}}{{600}}\,,\,\frac{{203}}{{600}}\,,\, \cdots \,,\,\frac{{299}}{{600}} < \frac{1}{2}\end{array}\)

اگر هر قسمت را به 1000 قسمت مساوی تقسیم کند 999 عدد گویا بین این دو کسر می تواند بنویسد:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{2} = \frac{3}{6} = \frac{{3000}}{{6000}}\quad ,\quad \frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{{2000}}{{6000}}\\\\\frac{1}{3} < \frac{{2001}}{{6000}}\,,\,\frac{{2002}}{{6000}}\,,\,\frac{{2003}}{{6000}}\,,\, \cdots \,,\,\frac{{2999}}{{6000}} < \frac{1}{2}\end{array}\)

در روش مهناز نیز می توانیم به دفعات زیادی میانگین دو عدد را محاسبه کنیم

نتیجه: بین دو عدد گویا بی شمار عدد گویا وجود دارد

ب

خیر؛ چون بین دو عدد گویا بی شمار عدد گویا وجود دارد.

ج

خیر؛ بی شمار عدد گویا وجود دارد.

د

\(\left\{ {\frac{a}{b}|a\,,\,b \in \mathbb{Z}\,,\,b \ne 0\,} \right\}\)

\(\begin{array}{l}\frac{2}{5} = \frac{8}{{20}}\,\,\,,\,\,\,\frac{3}{4}\, = \frac{{15}}{{20}}\\\\ \Rightarrow \frac{2}{5} = \frac{8}{{20}} < \frac{9}{{20}}\,,\,\frac{{10}}{{20}}\,,\, \cdots \,,\,\frac{{14}}{{20}} < \frac{{15}}{{20}} = \frac{3}{4}\end{array}\)

دو کسر را هم مخرج می کنیم و بین \(\frac{8}{{20}}\) و \(\frac{{15}}{{20}}\) کسرهای \(\frac{{14}}{{20}}\,,\, \cdots \,,\,\frac{{10}}{{20}}\,,\,\frac{9}{{20}}\) را می نویسیم.

\(\begin{array}{l} - 1 = - \frac{2}{2} = - \frac{{2 \times 3}}{{2 \times 3}} = - \frac{6}{6}\\\\ - \frac{1}{2} = - \frac{{1 \times 3}}{{2 \times 3}} = - \frac{3}{6}\\\\ \Rightarrow - 1 = - \frac{6}{6} < - \frac{5}{6}\,,\, - \frac{4}{6} < - \frac{3}{6} = - \frac{1}{2}\end{array}\)

روش شاهد:

خیر

روش مرتضی:

\(\begin{array}{l}\frac{5}{9} = \frac{{200}}{{360}}\\\\\frac{7}{8} = \frac{{315}}{{360}}\\\\\frac{5}{6} = \frac{{300}}{{360}}\\\\\frac{3}{5} = \frac{{216}}{{360}}\end{array}\)

روش مجید:

\(\begin{array}{l}\frac{5}{9} \simeq 0/55\\\\\frac{7}{8} \simeq 0/87\\\\\frac{5}{6} \simeq 0/82\\\\\frac{3}{5} = 0/6\end{array}\)

برای مقایسه ی اعداد گویا با مخرج های مساوی و کوچک استفاده از محور روش مناسبی است. در صورتی که مخرج ها بزرگ باشد تقسیم یک واحد به قسمت های مساوی کار دشوار و حتی در خیلی موارد غیر ممکن است. لذا برای این سوال روش شاهد روش مناسبی نیست.

یکی از روش های مناسب برای مقایسه کسر ها هم مخرج کردن آن ها می باشد ولی این روش نیز به نوبه ی خود محدودیت هایی دارد و در صورتی که مخرج کسرها بزرگ باشد بدست آوردن «ک.م.م» آن ها بسیار وقت گیر است

مجید از ابزار استفاده کرده است و ابتدا صورت را بر مخرج تقسیم کرده و نماد اعشاری آن ها را بدست آورده و سپس آن ها را با هم مقایسه کرده، استفاده از ماشین حساب در زندگی روزمره و کسر های واقعی بسیار مناسب تر از دو روش بالا می باشد

این روش هم محدودیت هایی دارد؛ چون ممکن است ماشین حساب نداشته باشیم.

نتیجه: برای شروع کار روش شاهد مناسب ترین روش است و در انتها روش مجید در صورت داشتن ماشین حساب بسیار مناسب تر است.

\(\begin{array}{l}\frac{3}{8} \simeq 0/38\\\\\frac{1}{3} \simeq 0/33\\\\\frac{7}{6} \simeq 1/17\end{array}\)

الف

تفاوت اصلی این است که برخی از این کسرها نمایشی مختوم (پایان‌پذیر) دارند و برخی دیگر نمایشی متناوب (تکرارشونده).

اعشار مختوم: نمایش اعشاری کسر \(\frac{3}{8}\) یک عدد اعشاری مختوم است. یعنی تقسیم صورت بر مخرج پایان می‌پذیرد و تعداد ارقام اعشاری آن محدود است.

اعشار متناوب: نمایش اعشاری کسرهای \(\frac{1}{3}\) و \(\frac{7}{6}\) متناوب است. یعنی در تقسیم، یک یا چند رقم به طور نامحدود تکرار می‌شوند.

\(0/\bar 3\) یک اعشار متناوب ساده است، زیرا بخش تکرارشونده بلافاصله بعد از ممیز شروع می‌شود.

\(1/1\bar 6\) یک اعشار متناوب مرکب است، زیرا بین ممیز و بخش تکرارشونده (۶)، یک بخش غیرتکراری (۱) وجود دارد.

\(\begin{array}{l}\frac{5}{{11}} = 0/4\bar 5\\\\\frac{7}{9} = 0/\bar 7\\\\\frac{5}{6} = 0/8\bar 3\\\\\frac{7}{{22}} = 0/3\overline {18} \\\\\frac{3}{{20}} = 0/15\\\\\frac{5}{{16}} = 0/3125\end{array}\)

\(\begin{array}{l}( - 2\frac{5}{6} + 3\frac{1}{2}) \div ( - 1 - \frac{1}{9}):\\\\\left\{ \begin{array}{l} - 2\frac{5}{6} + 3\frac{1}{2} = - \frac{{17}}{6} + \frac{7}{2} = \\\\ - \frac{{17}}{6} + \frac{{21}}{6} = \frac{{ - 17 + 21}}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\end{array} \right.\\\\\left\{ { - 1 - \frac{1}{9} = - \frac{9}{9} - \frac{1}{9} = - \frac{{10}}{9}} \right.\\\\ \Rightarrow ( - 2\frac{5}{6} + 3\frac{1}{2}) \div ( - 1 - \frac{1}{9}) = \\\\\frac{2}{3} \div ( - \frac{{10}}{9}) = \frac{2}{3} \times ( - \frac{9}{{10}}) = - \frac{3}{5} = - 0/6\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{1 - \frac{1}{2} + \frac{3}{4}}}{{\frac{5}{{10}} - \frac{3}{4} - \frac{1}{2}}} \div 5\frac{1}{3}:\\\\\left\{ {1 - \frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} - \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}} \right.\\\\\left\{ {\frac{5}{{10}} - \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = - \frac{3}{4}} \right.\\\\\left\{ {\frac{{1 - \frac{1}{2} + \frac{3}{4}}}{{\frac{5}{{10}} - \frac{3}{4} - \frac{1}{2}}} = \frac{{\frac{5}{4}}}{{ - \frac{3}{4}}} = - \frac{{5 \times 4}}{{4 \times 3}} = - \frac{5}{3}} \right.\\\\ \Rightarrow \frac{{1 - \frac{1}{2} + \frac{3}{4}}}{{\frac{5}{{10}} - \frac{3}{4} - \frac{1}{2}}} \div 5\frac{1}{3} = - \frac{5}{3} \div 5\frac{1}{3} = \\\\ - \frac{5}{3} \div \frac{{16}}{3} = - \frac{5}{3} \times \frac{3}{{16}} = - \frac{5}{{16}} = - 0/3125\end{array}\)

\(\begin{array}{l} - \frac{1}{2} + \frac{{ - 5}}{6} \div \frac{7}{3} \times \frac{7}{5} + \frac{2}{3}:\\\\\left\{ {\frac{{ - 5}}{6} \div \frac{7}{3} = \frac{{ - 5}}{6} \times \frac{3}{7} = - \frac{5}{{14}}} \right.\\\\\left\{ {\frac{{ - 5}}{6} \div \frac{7}{3} \times \frac{7}{5} = - \frac{5}{{14}} \times \frac{7}{5} = - \frac{1}{2}} \right.\\\\ \Rightarrow - \frac{1}{2} + \frac{{ - 5}}{6} \div \frac{7}{3} \times \frac{7}{5} + \frac{2}{3} = \\\\ - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = - 1 + \frac{2}{3} = \\\\ - \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = - \frac{1}{3}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{ - 1 - \frac{1}{{ - 1 - \frac{1}{3}}}}}:\\\\\left\{ { - 1 - \frac{1}{3} = - \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = - \frac{4}{3}} \right.\\\\\left\{ \begin{array}{l} - 1 - \frac{1}{{ - 1 - \frac{1}{3}}} = - 1 - \frac{1}{{ - \frac{4}{3}}} = \\\\ - 1 + \frac{3}{4} = - \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = - \frac{1}{4}\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow \frac{1}{{ - 1 - \frac{1}{{ - 1 - \frac{1}{3}}}}} = \frac{1}{{ - \frac{1}{4}}} = - 4\end{array}\)

الف

\(\begin{array}{l}\frac{7}{8}\;,\; - \frac{2}{3}\;,\;\frac{3}{4}\;,\;2\;,\; - 3\frac{5}{6}\\\\ \Rightarrow \left[ {8\,,\,6\,,\,4\,,\,3\,,\,1} \right] = 24\\\\\left\{ \begin{array}{l}\frac{7}{8} = \frac{{21}}{{24}}\\\\ - \frac{2}{3} = - \frac{{16}}{{24}}\\\\\frac{3}{4} = \frac{{18}}{{24}}\\\\2 = \frac{{48}}{{24}}\\\\ - 3\frac{5}{6} = - \frac{{23}}{6} = - \frac{{92}}{{24}}\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow - \frac{{92}}{{24}} < - \frac{{16}}{{24}} < \frac{{18}}{{24}} < \frac{{21}}{{24}} < \frac{{48}}{{24}}\\\\ \Rightarrow - 3\frac{5}{6} < - \frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{7}{8} < 2\\\\ \Rightarrow - 3\frac{5}{6}\,,\, - \frac{2}{3}\,,\,\frac{3}{4}\,,\,\frac{7}{8}\,,\,2\end{array}\)

ب

\(\begin{array}{l}\frac{{16}}{7}\;,\; - \frac{3}{4}\;,\;2/75\;,\; - \frac{5}{6}\;,\;4\frac{3}{5}\;,\;\frac{{56}}{{13}}\\\\\left\{ \begin{array}{l}\frac{{16}}{7} = 2\frac{2}{7} \simeq 2/28\\\\ - \frac{3}{4} = - 0/75\\\\ - \frac{5}{6} \simeq - 0/83\\\\4\frac{3}{5} = 4/6\\\\\frac{{56}}{{13}} = 4\frac{4}{{13}} \simeq 4/3\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow - 0/83 < - 0/75 < 2/75 < 2/28 < 4/3 < 4/6\\\\ \Rightarrow - \frac{5}{6} < - \frac{3}{4} < 2/75 < \frac{{16}}{7} < \frac{{56}}{{13}} < 4\frac{3}{5}\\\\ \Rightarrow - \frac{5}{6}\,,\, - \frac{3}{4}\,,\,2/75\,,\,\frac{{16}}{7}\,,\,\frac{{56}}{{13}}\,,\,4\frac{3}{5}\end{array}\)

الف

\(\begin{array}{l}\frac{{10}}{{11}} = \frac{{10 \times 13}}{{11 \times 13}} = \frac{{130}}{{143}} = \frac{{130 \times 10}}{{143 \times 10}} = \frac{{1300}}{{1430}}\\\\\frac{{12}}{{13}} = \frac{{12 \times 11}}{{13 \times 11}} = \frac{{132}}{{143}}\frac{{132 \times 10}}{{143 \times 10}} = \frac{{1320}}{{1430}}\\\\\frac{{10}}{{11}} = \frac{{1300}}{{1430}} < \frac{{1301}}{{1430}}\,,\,\frac{{1302}}{{1430}}\,,\,\frac{{1303}}{{1430}} < \frac{{1320}}{{1430}} = \frac{{12}}{{13}}\\\\ \Rightarrow \frac{{1301}}{{1430}}\,,\,\frac{{1302}}{{1430}}\,,\,\frac{{1303}}{{1430}}\end{array}\)

ب

\(\begin{array}{l} - \frac{1}{3} = - \frac{{1 \times 10}}{{3 \times 10}} = - \frac{{10}}{{30}}\\\\0 = \frac{{0 \times 10}}{{1 \times 10}} = \frac{0}{{10}} = 0\\\\ - \frac{1}{3} = - \frac{{10}}{{30}} < - \frac{9}{{30}}\,,\, - \frac{8}{{30}}\,,\, - \frac{7}{{30}} < 0\\\\ \Rightarrow - \frac{9}{{30}} = - \frac{3}{{10}}\,,\, - \frac{8}{{30}} = - \frac{4}{{15}}\,,\, - \frac{7}{{30}}\\\\ \Rightarrow - \frac{3}{{10}}\,,\, - \frac{4}{{15}}\,,\, - \frac{7}{{30}}\end{array}\)

الف

دلیل این تفاوت، عملیات گرد کردن در ماشین حساب ۸ رقمی است. مقدار دقیق رادیکال ۲ با ارقام بیشتر برابر 1/41421356… است. ماشین حساب ۸ رقمی برای نمایش عدد تا ۷ رقم اعشار، به رقم هشتم (که ۶ است) نگاه می‌کند. چون این رقم بزرگ‌تر از ۵ است، رقم هفتم (۵) را به ۶ گرد می‌کند و نتیجه را 1/4142136 نشان می‌دهد.

ب

این تفاوت بین ماشین حساب‌های ۱۰ و ۱۲ رقمی دیده نمی‌شود، زیرا در آنجا رقم مسئول گرد کردن کمتر از ۵ است. برای مثال، ماشین حساب ۱۰ رقمی (که ۸ رقم اعشار نشان می‌دهد) به نهمین رقم اعشار (که ۲ است) نگاه می‌کند و چون ۲ کمتر از ۵ است، رقم قبلی را تغییر نمی‌دهد.

پ

خیر، با توجه به ارقام نمایش داده شده در ماشین حساب ۱۲ رقمی (1/414213562…)، هیچ تناوب یا تکرار منظمی در ارقام اعشاری دیده نمی‌شود.

ت

خیر، در ۱۵ رقم اعشاری نمایش داده شده برای رادیکال ۲ نیز هیچ تناوبی وجود ندارد. این ویژگی اصلی اعداد گنگ (اصم) مانند رادیکال ۲ است که نمایش اعشاری آن‌ها نه تنها پایان ندارد، بلکه هیچ‌گاه به یک الگوی تکرارشونده نیز نمی‌رسد.

عبارت های \(Q \cap Q' \in \emptyset \) و \(Z \subseteq Q\) درست هستند و عبارت های \(N \subseteq Q'\) و \(Z \subseteq Q'\) درست نیستند.

الف

بین هر دو عدد گویا بیشمار عدد گویا وجود دارد

\(\begin{array}{l}1 < \cdots \,,\,1\frac{1}{6}\,,\,1\frac{1}{5}\,,\,1\frac{1}{4}\,,\,1\frac{1}{3}\,,\,1\frac{1}{2} < 2\\\\ \Rightarrow 1 < \cdots \,,\,\frac{7}{6}\,,\,\frac{6}{5}\,,\,\frac{5}{4}\,,\,\frac{4}{3}\,,\,\frac{3}{2} < 2\end{array}\)

ب

متناظر با هر عدد فقط یک نقطه وجود دارد در کل بی شمار نقطه داریم.

ج

\(\begin{array}{l}O{C^2} = O{A^2} + A{C^2}\\\\ \Rightarrow O{C^2} = {1^2} + {1^2} = 1 + 1 = 2\\\\ \Rightarrow OC = \sqrt 2 \\\\1 < \sqrt 2 < 1/5\end{array}\)

د

بین دو عدد 1 و 2 بیشمار عدد گنگ و بی شمار عدد گویا وجود دارد. و بین هر دو عدد گویا بی شمار عدد گنگ وجود دارد. وقتی نقاط متناظر با اعداد گویا بین 1 و2 را رنگ می کنیم، نقاط متناظر با اعداد گنگ رنگ نشده باقی می ماند، در نتیجه این نقاط نمی توانند پاره خط بوجود آورند.

برای پیدا کردن اعداد گنگ بین \(\sqrt 5 \) و \(\sqrt {10} \) ، کافی است اعدادی بین ۵ و ۱۰ انتخاب کنیم که جذر کامل نداشته باشند و سپس جذر آنها را بنویسیم. چهار نمونه عبارتند از:

\(\sqrt 6 \,,\,\sqrt 7 \,,\,\sqrt 8 \,,\,\sqrt {9/1} \)

ابتدا اعداد ۲ و ۳ را به صورت رادیکالی می‌نویسیم: \(2 = \sqrt 4 \) و \(3 = \sqrt 9 \) حالا باید چهار عدد گنگ بین \(\sqrt 4 \) و \(\sqrt 9 \) پیدا کنیم. چهار نمونه عبارتند از:

\(\sqrt 5 \,,\,\sqrt 6 \,,\,\sqrt 7 \,,\,\sqrt 8 \)

الف

خیر، نمایش داده شده درست نیست.

دلیل: مجموعهٔ \(A = \left\{ {x \subseteq Q|2 \le x \le 3} \right\}\) شامل تمام اعداد گویا بین ۲ و ۳ است. اما خط ممتد و توپر روی محور، نمایش‌دهندهٔ تمام اعداد حقیقی (شامل گویا و گنگ) بین ۲ و ۳ است. از آنجایی که بین ۲ و ۳ اعداد گنگ بی‌شماری مانند \( \cdots \,,\,\sqrt 6 \,,\,\sqrt 5 \) وجود دارند که در مجموعه A نیستند، این نمایش صحیح نمی‌باشد.

ب

برای مشخص کردن \(\sqrt 5 \) روی محور، از قضیه فیثاغورس استفاده می‌کنیم:

1 یک مثلث قائم‌الزاویه روی محور اعداد رسم می‌کنیم که یک ضلع آن به طول ۲ واحد (از ۰ تا ۲) و ضلع دیگر آن به طول ۱ واحد (عمود بر محور) باشد.

2 طول وتر این مثلث برابر با \(\sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt {4 + 1} = \sqrt 5 \) خواهد بود.

3 با استفاده از پرگار، دهانه را به اندازه طول وتر باز کرده، سوزن آن را روی مبدأ (نقطه ۰) قرار می‌دهیم و یک کمان می‌زنیم تا محور اعداد را قطع کند. نقطهٔ برخورد، نمایش عدد \(\sqrt 5 \) است.

\(\begin{array}{l}4\; \in \;Z\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0/2\; \in \;Q\\\\\sqrt {18} \; \in \;R\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{\sqrt 7 }}{{\sqrt 2 }}\; \in \;R\\\\ - 5\; \in \;R\;\;\;\;\;\;\;\;\; - \frac{7}{3}\;\not \in \;Z\\\\\sqrt {25} \;\not \in \;Q'\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{0}{6}\; \in \;R\\\\\sqrt {3/5} \; \in \;Q'\;\;\;\;\;\sqrt {0/9} \; \in \;Q'\\\\\sqrt {0/09} \; \in \;Q\;\;\;\;\;\;\frac{9}{{ - 1}}\; \in \;Z\end{array}\)

نامساوی x<3 به این معنی است که x باید از 3 کمتر باشد و مجموعه شامل عدد 3 می باشد و نامساوی \(2 \le x\) یعنی مجموعه شامل 2 و اعداد بزرگتر از آن می باشد.

\(0/75 \in A\)   

درست

\(0/252552555... \in B\)   

درست

\(\sqrt {13} \in A\)   

درست

\(\sqrt 7 \in C\)   

نادرست

\(\sqrt 1 \in A\)   

درست

\( - 1000 \in C\)   

درست

ج \(\left\{ {x \in R| - 2 < x < 3} \right\}\) ؛ یعنی تمام اعداد حقیقی بزرگتر از 2- و کوچکتر از 3.

الف

مجموعه ی A شامل همه ی اعداد بین 1/5 و 5 است (اعداد گویا و گنگ) ولی مجموعه  B فقط شامل اعداد گویای بین این دو عدد می باشد

ب

مجموعه ی D شامل تمام اعداد گویا و گنگ بین 3 و 9 می باشد ولی مجموعه ی C فقط شامل اعداد طبیعی بین 3 و 9 می باشد

1 \(N \cup Z = Z\)

2 \(R - Q' = Q\)

3 \(Z \cap N = N\)

4 \(R \cap Q' = Q'\)

\(\begin{array}{l}1 + \sqrt 5 :\\\\4 < 5 < 9 \Rightarrow \sqrt 4 < \sqrt 5 < \sqrt 9 \\\\ \Rightarrow 2 < \sqrt 5 < 3\\\\ \Rightarrow 1 + 2 < 1 + \sqrt 5 < 1 + 3\\\\ \Rightarrow 3 < 1 + \sqrt 5 < 4\end{array}\)

الف

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 2 = - \sqrt 4 \\\\5 = \sqrt {25} \end{array} \right.\\\\ \Rightarrow - \sqrt 3 \,,\, - \sqrt 2 \,,\,\sqrt 2 \,,\,\sqrt 3 \end{array}\)

ب

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}6 = \sqrt {36} \\\\7 = \sqrt {49} \end{array} \right.\\\\ \Rightarrow \sqrt {40} \,,\,\sqrt {42} \,,\,\sqrt {44} \,,\,\sqrt {46} \end{array}\)

ج

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3 \\\\6 = \sqrt {36} \end{array} \right.\\\\ \Rightarrow \sqrt 5 \,,\,\sqrt 6 \,,\,\sqrt 7 \,,\,\sqrt 8 \end{array}\)

د

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 2 \\\\\sqrt {4/1} \end{array} \right.\\\\ \Rightarrow \sqrt {2/5} \,,\,\sqrt 3 \,,\,\sqrt {3/6} \,,\,\sqrt {3/9} \end{array}\)

عبارات صحیح از قرار زیر می باشند:

1 ، 3 و 4

مثال برای 1 : تمام اعداد صحیح گویا هستند.

مثال برای 3 : \(\sqrt 2 \)  هم گنگ است و هم حقیقی.

مثال برای 4 : تمام اعداد طبیعی، حقیقی می باشند.

در نمایش اعشاری \(\frac{3}{{11}}\) دوره تناوب وجود دارد و 27 تکرار می شود ولی در نمایش اعشاری \(\sqrt {10} \) دوره تناوب وجود ندارد.

\(\begin{array}{l}\frac{3}{{11}} = 0/27272727 \cdots = 0/\overline {27} \\\\\sqrt {10} = 3/1622776601683 \cdots \end{array}\)

الف

ب

OA = 2

پ

OB = 2

دو نقطه:

1

\(\begin{array}{l}\left| {ab} \right| = \left| a \right|\left| b \right|\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\\\b = - 2\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow \left| {( - 3) \times ( - 2)} \right| = \left| { - 3} \right|\left| { - 2} \right|\\\\ \Rightarrow 6 = 6\end{array}\)

2

\(\begin{array}{l}\left| {a + b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|\\\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 15\\\\b = 20\end{array} \right.\\\\ \Rightarrow \left| { - 15 + 20} \right| \le \left| { - 15} \right| + \left| {20} \right|\\\\ \Rightarrow 5 \le 35\end{array}\)

1 \(\left| {2 - \sqrt 3 } \right| = 2 - \sqrt 3 \)

دلیل: \(\sqrt 3 \simeq 1/7\) ، پس \(2 - \sqrt 3 \) مثبت می شود.

2 \(\left| {\sqrt 7 - \sqrt 8 } \right| = \sqrt 8 - \sqrt 7 \)

دلیل: \(\sqrt 7 \simeq 2/6\) و \(\sqrt 8 \simeq 2/8\) ، پس \(\sqrt 7 - \sqrt 8 \) منفی می شود.

3 \(\left| {2\sqrt 5 - \sqrt 5 } \right| = \sqrt 5 \)

دلیل: \(\sqrt 5 \simeq 2/2\) و \(2\sqrt 5 \simeq 4/5\) ، پس \(2\sqrt 5 - \sqrt 5 \) مثبت می شود.

4 \(\left| { - 4 - \sqrt 3 } \right| = 4 + \sqrt 3 \)

دلیل: هر دو عدد 4- و \( - \sqrt 3 \) منفی هستند، پس \( - 4 - \sqrt 3 \) منفی می شود.

حاصل \(\sqrt {{a^2}} \) همیشه مثبت است.

الف

\(\begin{array}{l}\left| {{{\left( { - 7} \right)}^2}} \right|\; = \left| {49} \right|\; = 49\\\\{\left| { - 7} \right|^2} = {(7)^2}\; = 49\\\\ \Rightarrow \left| {{{\left( { - 7} \right)}^2}} \right|\; = \;{\left| { - 7} \right|^2}\end{array}\)

ب

\(\begin{array}{l}\left| { - 8 + 5} \right| = \left| { - 3} \right| = 3\\\\\left| { - 8} \right| + \left| 5 \right| = 8 + 5 = 13\\\\ \Rightarrow \left| { - 8 + 5} \right|\; < \;\left| { - 8} \right| + \left| 5 \right|\end{array}\)

ج

\(\begin{array}{l}\left| {3 - 9} \right| = \left| { - 6} \right| = 6\\\\\left| 3 \right| - \left| 9 \right| = 3 - 9 = - 6\\\\ \Rightarrow \left| {3 - 9} \right|\; > \;\left| 3 \right| - \left| 9 \right|\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left| {\;0\;} \right| = \;0\\\\\left| { - \frac{4}{3}} \right| = \frac{4}{3}\\\\\left| {{7^3} - {7^4}} \right| = - ({7^3} - {7^4}) = {7^4} - {7^3}\\\\\left| {0/{2^5} - 0/{2^6}} \right| = 0/{2^5} - 0/{2^6}\end{array}\)

الف

\(\sqrt {{{\left( { - 2595} \right)}^2}} = \left| { - 2595} \right| = 2595\)

ب

\(\sqrt {{{\left( {1394} \right)}^2}} = \left| {1394} \right| = 1394\)

ج

\(\sqrt {{{\left( { - 3 + \sqrt {10} } \right)}^2}} = \left| { - 3 + \sqrt {10} } \right| = \sqrt {10} - 3\)

د

\(\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} = \left| {2 - \sqrt 5 } \right| = \sqrt 5 - 2\)

\(\begin{array}{l}\left| {a + b} \right| + 2\left| {a - b - c} \right| = \\\\\left| {0/25 - \frac{1}{4}} \right| + 2\left| {0/25 + \frac{1}{4} - 2\frac{1}{2}} \right| = \\\\\left| {\frac{1}{4} - \frac{1}{4}} \right| + 2\left| {\frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 2\frac{1}{2}} \right| = \\\\0 + 2\left| {\frac{1}{2} - 2\frac{1}{2}} \right| = 2\left| { - 2} \right| = 2(2) = 4\end{array}\)

الف

\(\left| { - 3\sqrt 5 } \right| = - ( - 3\sqrt 5 ) = 3\sqrt 5 \)

ب

\(\begin{array}{l}\left| {7 - 5\sqrt 3 } \right| = \left| {\sqrt {49} - \sqrt {25 \times 3} } \right| = \\\\\left| {\sqrt {49} - \sqrt {75} } \right| = - (\sqrt {49} - \sqrt {75} ) = \\\\\sqrt {75} - \sqrt {49} = 5\sqrt 3 - 7\end{array}\)

ج

\(\left| {0 + \sqrt 5 } \right| = \left| {\sqrt 5 } \right| = \sqrt 5 \)

\(\begin{array}{l}\left| {5 - 12} \right| > 1 + \;\bigcirc \\\\ \Rightarrow \left| { - 7} \right| > 1 + \;\bigcirc \\\\ \Rightarrow 7 > 1 + \;\bigcirc \\\\ \Rightarrow 7 - 1 > 1 + \;\bigcirc - 1\\\\ \Rightarrow 6 > \;\bigcirc \end{array}\)

پس \(\bigcirc \) ، هر عدد کوچکتر از 6 می تواند باشد؛ مثل 5، 4، 2- و ...

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\\\\left| a \right| = \left| { - 2} \right| = 2\end{array} \right. \Rightarrow a + \left| a \right| = - 2 + 2 = 0\\\\\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\\\\left| a \right| = \left| 0 \right| = 0\end{array} \right. \Rightarrow a + \left| a \right| = 0 + 0 = 0\\\\\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\\\\left| a \right| = \left| 2 \right| = 2\end{array} \right. \Rightarrow a + \left| a \right| = 2 + 2 = 4\end{array}\)

خیر؛ به ازای هیچ یک از اعداد حقیقی، عبارت a+|a| منفی نخواهد شد.

\(\begin{array}{l}a = - 7\\\\\sqrt {{{( - 7)}^2}} = \sqrt {49} = 7 \ne - 7\end{array}\)

مثال فوق، یک مثال نقض برای تساوی \(\sqrt {{a^2}} = a\) می باشد.

\(\begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 2 - 1} \right| = \sqrt 2 - 1\\\\\sqrt {{{\left( {1 - \sqrt {10} } \right)}^2}} = \left| {1 - \sqrt {10} } \right| = - (1 - \sqrt {10} ) = \sqrt {10} - 1\end{array}\)