جواب تمرین صفحه 29 درس 2 ریاضی یازدهم تجربی (هندسه)

الف

بنابر خاصیت عمود منصف نقطه ای که از دو نقطه A و B به یک فاصله باشد، بر روی عمود منصف پاره خط AB قرار دارد و همچنین نقطه ای که از دو نقطه C و D به یک فاصله باشد، بر روی عمود منصف پاره خط CD قرار دارد. بنابراین جواب مسئله محل برخورد این دو عمود منصف می باشد.

ب

با توجه به بند (الف):

نقطه O روی عمود منصف AB است؛ بنابراین OA=OB (1)

نقطه O روی عمود منصف CD است؛ بنابراین  OC=OD(2)

و با توجه به فرض قسمت (ب)، نقطه O روی عمود منصف BC است؛

بنابراین OC=OB (3)

از روابط (1) و (3) نتیجه می گیریم که OA=OC (4)

از روابط (4) و (2) نتیجه می گیریم که OA=OB=OC=OD

بنابراین فاصله نقاط B ، C و D از نقطه O برابر شعاع دایره یعنی OA

است؛ پس این نقاط روی دایره قرار دارند.

نقاط B و C روی این دایره اند؛ زیرا :

نقطه O روی عمود منصف BC قرار دارد؛ بنابراین OB=OC (1)

نقطه O روی عمود منصف AB قرار دارد؛ بنابراین OA=OB (2)

از روابط (1) و (2) نتیجه می گیریم که OA=OB=OC ؛ پس نقاط

B و C روی دایره به شعاع OA می باشند.

اضلاع مثلث در پای عمودها بر دایره مماس هستند.

نقطه O روی نیم ساز زاویه A است؛ بنابراین OH=OH” (1)

نقطه O روی نیم ساز زاویه C است؛ بنابراین OH=OH’ (2)

از روابط (1) و (2) نتیجه می گیریم که OH’=OH”

بنابراین OH=OH’=OH” . پس نقاط H’ و H” هم روی این دایره قرار دارند و اگر شعاع در نقطه تماس با خطی، بر آن عمود باشد، پس آن خط بر دایره مماس است، پس اضلاع مثلث بر این دایره مماس هستند.

الف

چون می خواهیم مثلث ABC متساوی الساقین باشد به طوری که AB=AC و ضلع BC روی خط d باشد، پس باید نقاط B و C به فاصله مساوی از A و روی خط d باشند. اگر بخواهیم این نقاط از نقطه A به یک فاصله باشند، باید به مرکز A و شعاع دلخواه دایره رسم کنیم، ولی چون می خواهیم که این نقاط روی خط d هم باشند بنابراین شعاع این دایره باید بزرگتر از 4 سانتی متر باشد، زیرا در غیر این صورت این دایره خط d را در دو نقطه قطع نخواهد کرد.

ب

برای این منظور کافی است دایره ای به شعاع 6 سانتی متر رسم کنیم. این دایره خط d را در نقاط B و C قطع می کند و مثلث ABC جواب مسئله است.

پ

طول ارتفاع 4 سانتی متر است ، پس طول قاعده نظیر را می توان محاسبه کرد:

\(S = \frac{1}{2}AH \times BC \Rightarrow 8 = \frac{1}{2}\left( 4 \right) \times BC \Rightarrow BC = 4\)

می دانیم در هر مثلث متساوی الساقین ارتفاع و میانه بر هم منطبق هستند، بنابراین پای ارتفاع یعنی نقطه H وسط BC قرار دارد. پس به مرکز H و به شعاع نصف اندازه BC ( 2 سانتی متر ) کمان می زنیم تا نقاط B و C به دست آیند. مثلث ABC جواب مسئله می باشد.