گام به گام تمرین صفحه 8 درس 1 ریاضیات گسسته (آشنایی با نظریۀ اعداد)

1)

الف)

اگر x و y  دو عدد حقیقی هم علامت (مخالف صفر) باشند، داریم :

\(\begin{array}{l}\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2 \Leftrightarrow xy\;(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) \ge 2xy\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2xy \ge 0\\ \Leftrightarrow {(x - y)^2} \ge 0\end{array}\)

که این عبارت همواره درست است.

ب)

برای هر سه عدد حقیقی x و y و z داریم :

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} \ge xy + yz + zx\quad \\\mathop  \Leftrightarrow \limits^{ \times 2} \quad 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} \ge 2xy + 2yz + 2zx\\ \Leftrightarrow \underline {{x^2}}  + \underline{\underline {{x^2}}}  + \underline {{y^2}}  + \underline {\underline{\underline {{y^2}}} }  + \underline{\underline {{z^2}}}  + \underline {\underline{\underline {{z^2}}} }  - \underline {2xy}  - \underline {\underline{\underline {2yz}} }  - \underline{\underline {2zx}}  \ge 0\\ \Leftrightarrow {(x - y)^2} + {(x - z)^2} + {(y - z)^2} \ge 0\end{array}\)

\({\bf{2n}} - {\bf{1}} \)  که این عبارت همواره درست است.

پ)

برای هر سه عدد حقیقی x و y و z داریم :

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 1 \ge xy + x + y\\\mathop  \Leftrightarrow \limits^{ \times 2} 2{x^2} + 2{y^2} + 2 \ge 2xy + 2x + 2y\\ \Leftrightarrow \underline {{x^2}}  + \underline{\underline {{x^2}}}  + \underline {{y^2}}  + \underline {\underline{\underline {{y^2}}} }  + \underline{\underline 1}  + \underline {\underline{\underline 1} }  - \underline {2xy}  - \underline{\underline {2x}}  - \underline {\underline{\underline {2y}} }  \ge 0\\ \Leftrightarrow {(x - y)^2} + {(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} \ge 0\end{array}\)

که این عبارت همواره درست است.

2)

\(x = 0/1\quad ,\quad x =  - 1\quad ,\quad x =  - 2\quad ,\quad  \cdots\)

3)

(I) گیریم \(\alpha  - \beta\)  گویا باشد، از طرفی \(\alpha  + \beta\)  گویاست، پس مجموع آن ها یعنی \(\alpha  + \beta  + \alpha  - \beta  = 2\alpha\)  گویا بوده و در نتیجه α نیز گویاست که با فرض، تناقض دارد؛ پس \(\alpha  - \beta\)  گنگ است.

(II) گیریم \(\alpha  + 2\beta\)  گویا باشد، از طرفی \(\alpha  + \beta\)  گویاست، پس تفاضل آن ها یعنی \(\alpha  + 2\beta  - (\alpha  + \beta ) = \beta\)  گویاست که با فرض، تناقض دارد؛ پس \(\alpha  + 2\beta\)  گنگ است.

4)

\({x^2} + {y^2} = {x^2} + {y^2} + 2xy \Rightarrow 2xy = 0 \Rightarrow x = 0\quad  \vee \quad y = 0\)

حداقل یکی از اعداد x و y باید صفر باشند؛ به طور مثال x = 0 و y = 7 جواب است.

5)

خیر؛ اثبات :

برهان خلف : گیریم چنین اعدادی وجود داشته باشد، بنابراین :

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{a + b}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \Rightarrow \frac{1}{{a + b}} = \frac{{a + b}}{{ab}}\\ \Rightarrow {(a + b)^2} = ab\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + 2ab = ab\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + ab = 0\quad \\\mathop  \Rightarrow \limits^{ \times 2} \quad 2{a^2} + 2{b^2} + 2ab = 0\\ \Rightarrow {(a + b)^2} + {a^2} + {b^2} = 0\\ \Rightarrow \quad a = 0\quad  \wedge \quad b = 0\quad  \wedge \quad a + b = 0\end{array}\)

که تناقض است.

6)

الف)

صحیح است؛ زیرا :

عدد فرد : \({\bf{2n}} - {\bf{1}} , n \in \mathbb{Z}\;\; \Rightarrow\)

مربع : \({\left( {2n - 1} \right)^2} = 4{n^2} - 4n + 1 = 2\left( {2{n^2} - 2n} \right) + 1 \to\) فرد است

مکعب : \({\left( {2n - 1} \right)^3} = 8{n^3} - 12{n^2} + 6n - 1 = 2\left( {4{n^3} - 6{n^2} + 3n} \right) - 1 \to\)  فرد است

ب)

صحیح است؛ زیرا :

پنج عدد متوالی:

\(n + 1\;,\;n + 2\;,\;n + 3\;,\;n + 4\;,\;n + 5\;,\;n \in \mathbb{N} \cup \left\{ 0 \right\}\)

میانگین اعداد \(= \frac{{5n + 15}}{5} = n + 3 =\)  عدد وسطی