شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | قطاع](https://dl2.my-dars.com/upload/image/041743429139.jpg)
ناحیه ای از درون و روی دایره را، که به دو شعاع دایره و آن دایره محدود است یک قطاع دایره می نامند.
اگر طول کمان AB نظیر قطاع را L در نظر بگیریم از رابطه زیر حاصل می شود:
\(L = \frac{{2\pi r}}{{360}}\alpha \)
اثبات
\(\begin{array}{l}\frac{{\left| {AB} \right|}}{{360}} = \frac{{\mathop {AB}\limits^\frown {\mkern 1mu} }}{{2\pi r}} \Rightarrow \frac{\alpha }{{360}} = \frac{L}{{2\pi r}}\\\\ \Rightarrow L = \frac{{2\pi r}}{{360}}\alpha \end{array}\)
اگر مساحت قطاع که زاویه مرکزی آن \(\alpha \) می باشد را S در نظر بگیریم:
\(S = \frac{{\pi {r^2}}}{{360}}\alpha \)
اثبات:
می دانیم یک درجه، \(\frac{1}{{360}}\) دایره است، پس مساحت قطاعی که زاویه مرکزی آن 1 درجه است؛ \(\frac{1}{{360}}\) مساحت دایره است؛ در نتیجه مساحت قطاعی که زاویه مرکزی آن \(\alpha \) درجه است، \(\frac{\alpha }{{360}}\) مساحت دایره است.
مساحت قطاع = \(\frac{\alpha }{{360}} \Rightarrow S = \frac{\alpha }{{360}} = \pi {r^2} \Rightarrow S = \frac{{\pi {r^2}}}{{360}}\alpha \)
1 طول کمان های AB و CD و مساحت قسمت هاشور خورده را بدست آورید.
طول کمان AB = \(\frac{{2\pi r}}{{360}}\alpha = \frac{{2\pi 4}}{{360}} \times 90 = 2\pi \)
طول کمان CD = \(\frac{{2\pi r}}{{360}}\alpha = \frac{{2\pi \times 3}}{{360}} \times 90 = \frac{{3\pi }}{2}\)
مساحت قسمت هاشور خورده: \({S_{A\mathop O\limits^\Delta B}} - {S_{C\mathop O\limits^\Delta D}} = \)
\(\begin{array}{l}\frac{{\pi \times {4^2}}}{{360}} \times 90 - \frac{{\pi \times {3^2}}}{{360}} \times 90 = \\\\\frac{{16\pi }}{4} - \frac{{9\pi }}{4} = \frac{{7\pi }}{4}\end{array}\)
2 در شکل زیر اگر O مرکز دایره و مساحت ناحیه هاشور خورده برابر 18 باشد، طول کمان AB را بدست آورید. (\(\pi = 3\))
\(\begin{array}{l}{S_{A\mathop O\limits^\Delta B}} = 18 \Rightarrow \frac{{\pi {r^2}}}{{360}} \times 60 = 18\\\\ \Rightarrow \frac{{3{r^2}}}{6} = 18 \Rightarrow {r^2} = 36 \Rightarrow r = 6\end{array}\)
طول کمان AB = \(\frac{{2\pi r}}{{360}}\alpha = \frac{{2\pi 6}}{{360}} \times 60 = \)
\(2\pi = 2 \times 3 = 6\)
تهیه کننده: امیرحسین مطلبی
1736019749.png)
