شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | تعریف حدهای نامتناهی](https://dl.my-dars.com/upload/image/0331739031756.jpg)
1 با توجه به نمودار تابع \(f(x) = \frac{1}{{\left[ x \right]}}\)مشاهده کردید که \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = + \infty \) و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = + \infty \)
لذا می توان گفت که با نزدیک کردن X به اندازه ی کافی به صفر از سمت راست و از سمت چپ)، مقادیر f(x) را می توان به دلخواه بزرگ کرد. بنابراین (f(x از هر عدد دلخواهی بزرگ تر می شود و در نتیجه مقدار تابع یک عدد خاصی نمی شود و حد نامتناهی است و می نویسیم
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = + \infty \)
اکنون حدهای نامتناهی را به صورت زیر تعریف می کنیم. فرض کنید تابع و در همسایگی محذوف 1 تعریف شده باشد. در این صورت
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = + \infty \)
یعنی اینکه میتوانیم f(x)او را به دلخواه هر قدر که بخواهیم از هر عدد مثبتی بزرگتر کنیم به شرطی که x را از هر دو سمت راست و چپ به اندازه ی کافی به a نزدیک کرده باشیم.
همچنین فرض کنید تابع f در همسایگی محذوف a تعریف شده باشد. در این صورت
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = - \infty \)
یعنی اینکه میتوانیم f(x) را به دلخواه هر قدر که بخواهیم از هر عدد منفی کوچکتر کنیم به شرطی x که تا را از هر دو سمت راست و چپ به اندازه ی کافی به a نزدیک کرده باشیم.
نمودار تابع fدر شکل زیر را در نظر بگیرید و به موارد زیر توجه کنید.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} f(x)\)موجود نیست زیرا با اینکه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 5)}^ + }} f(x) = - 1\)ولی \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 5)}^ - }} f(x)\)وجودندارد.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f(x)\) موجود نیست زیرا حد راست و چپ هر دو موجود ولی مساوی نیستند.
حد راست \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} f(x) = 0\)و حد چپ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ - }} f(x) = 2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)\)موجود نیست حد راست و چپ هر دو بی کران هستند.
حدراست \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = - \infty \) حد چپ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)\) موجود نیست زیرا با اینکه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f(x) = 1\)ولی \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f(x)\)وجود ندارد.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x)\)تعریف نمی شود زیرا تابع در همسایگی ۲ تعریف نمی شود.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f(x)\)موجود نیست زیرا با اینکه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f(x) = 1\)ولی \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f(x)\)وجود ندارد.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f(x)\)وجود ندارد. زیرا \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} f(x) = - 2\)و\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} f(x) = + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 7} f(x) = 2\) زیرا \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {7^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {7^ - }} f(x) = 2\)
۱۰ : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 9} f(x)\)موجود نیست زیرا با اینکه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} f(x) = - 2\)ولی \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} f(x)\)وجود ندارد.
در این قسمت چند قضیه ی مهم در مورد حدهای بی نهایت ، بدون اثبات بیان می کنیم.
قضیه ی ۱ : اگر nیک عدد طبیعی باشد، آنگاه :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{{x^n}}} = + \infty \) (الف
در صورتی که زوج باشد. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{{x^n}}} = + \infty \) (ب
در صورتی که فرد باشد. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{{x^n}}} = - \infty \) (ج
مثال
با توجه به قضیه ی فوق می توان نوشت
الف \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{{x^3}}} = + \infty \)
ب \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{{x^4}}} = + \infty \)
ج \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{{x^3}}} = - \infty \)
قضیه ی ۲ :
الف: اگر \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = + \infty \) و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = + \infty \) انگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = + \infty \) و برعکس
ب :اگر \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = - \infty \) و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) = - \infty \) انگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = - \infty \) و برعکس
مثال
\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{2}{{\left| {x - 1} \right|}} = + \infty \\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{2}{{\left| {x - 1} \right|}} = + \infty \end{array} \right. \to \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{2}{{\left| {x - 1} \right|}} = + \infty \)
قضیه ی ۳: اگر \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^{}}} f(x) = L \ne 0\) و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = 0\) انگاه
الف : اگر \(L > 0\) و مقادیر g(x)در یک همسایگی محذوف aمثبت باشد، آنگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = + \infty \)
ب : اگر \(L < 0\) و مقادیرg(x) در یک همسایگی محذوف aمثبت باشد. آنگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = - \infty \)
ج : اگر \(L > 0\) و مقادیر g(x)در یک همسایگی محذوف aمنفی باشد، آنگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = - \infty \)
د : اگر \(L < 0\) و مقادیر g(x) در یک همسایگی محذوفa منفی باشد، آنگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = + \infty \)
تذکر : این قضیه برای حدهای یک طرفه نامتناهی ) یعنی در حالت های که \(x \to {a^ + }\)و \(x \to {a^ - }\)نیز برقرار است.
مثال
حاصل \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 1}}{{4 - {x^2}}}\)را به دست آورید.
چون \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} (x + 1) = + 1 = 3\)و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} (4 - {x^2}) = 4 - 4 = 0\) پس طبق قضیه
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 1}}{{4 - {x^2}}} = + \infty \)
وقتی می نویسیم \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = 0\)، یعنی این که حاصل حد صفر مطلق نمی باشد. بلکه عدد بسیار بسیار نزدیک صفر میباشد که برخی آن را صفر حدی می نامند. به همین دلیل است که گفته می شود. که در حد توابع کسری وقتی صورت عددی غیر صفر و مخرج صفر حدی باشد حد بی نهایت می شود و علامت آن را با توجه به علامت صورت و مخرج تعیین میکنند. برای مثال بعضی برای محاسبه ی حد زیر به شکل زیر عمل می کنند.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 1}}{{4 - {x^2}}} = \frac{{2 + 1}}{{4 - {{({2^ - })}^2}}} = \frac{3}{{{0^ + }}} = + \infty \)
به نمونه زیر نیز توجه کنید.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{5}{{x - 2}} = \frac{5}{{{2^ + } - 2}} = \frac{5}{{{0^ + }}} = + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{5}{{x - 2}} = \frac{5}{{{2^ - } - 2}} = \frac{5}{{{0^ - }}} = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - 5}}{{x - 2}} = \frac{{ - 5}}{{{2^ + } - 2}} = \frac{{ - 5}}{{{0^ + }}} = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - 5}}{{x - 2}} = \frac{{ - 5}}{{{2^ - } - 2}} = \frac{{ - 5}}{{0 - }} = + \infty \)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{x - 7}}{{x - 3}} = \frac{{3 - 7}}{{{3^ + } - 3}} = \frac{{ - 4}}{{{0^ + }}} = - \infty \\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \frac{{x - 2}}{{\left[ x \right] - 5}} = \frac{{5 - 2}}{{\left[ {{5^ + }} \right] - 5}} = \frac{3}{{5 - 5}} = \frac{3}{0}\end{array}\)
صفر حدی و صفر مطلق
برای درک مفهوم حد های نامتناهی لازم است تفاوت صفر حدی و صفر مطلق را بدانیم
صفر مطلق :هکان عدد صفر است که مبدا اعداد حقیقی است
صفر حدی : عدد بسیار کوچک مثبت و نزدیک صفر یا عدد بسیار کوچک منفی و نزدیک صفر است
1:اگر مخرج کسری صفر مطلق باشد این کسر تعریف نشده (نامعین)میباشد برای مثال کسر \(\frac{5}{0}\) نامعین است
2:اگر مخرج کسری صفر حدی باشد این کسر عدد بسیار بزرگ مثبت و یا بسیار بزرگ منفی خواهد شد مانند:
\(\frac{{ - 5}}{{{0^ - }}} = + \infty \) (د \(\frac{{ - 5}}{{{0^ + }}} = - \infty \)(ج \(\frac{5}{{{0^ - }}} = - \infty \)(ب \(\frac{5}{{{0^ + }}} = + \infty \)(الف
مثال
حاصل \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x - 1}}{{\sin x - 2}}\)را به دست أوريد.
وقتی xدر همسایگی راست صفر باشد صورت کسر برابر -1 و مخرج کسر برابر صفر است و از آنجا که در همسایگی راست صفر sinx مقداری مثبت است در نتیجه طبق قضیه خواهیم داشت.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x - 1}}{{\sin x - 2}} = - \infty \)
مثال
حاصل \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^\_}} \frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} + 2x + 1}}\)را به دست آورید.
از آنجا که حد فوق به صورت میهم \((\frac{0}{0})\) در می آید و چون \(x \ne - 1\)پس می توان صورت و مخرج کسر را بر ۱ + x تقسیم کرد. یعنی
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^\_}} \frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} + 2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^\_}} \frac{{x(x + 1)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^\_}} \frac{x}{{(x + 1)}} = + \infty \)
قضیه 4:اگر \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = L\) و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = + \infty \) ( یا \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = - \infty \)) انگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = 0\)
تذکر : این قضیه برای حدهای یک طرفه نامتناهی ) یعنی در حالت های که \(x \to {a^ + }\)و \(x \to {a^ - }\)نیز برقرار است
مثال
حاصل \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{x + 1}}{{\tan x}}\)را به دست آورید
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{x + 1}}{{\tan x}}\)
π حل : می دانیم که تابع تانژانت در همسایگی \(\frac{\pi }{2}\)و رفتار بی کران دارد.
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2})}^ + }} \tan x = - \infty \\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2})}^ + }} (x + 1) = \frac{\pi }{2} + 1\end{array} \right. \to \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2})}^ + }} \frac{{x + 1}}{{\tan x}} = 0\\\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2})}^ - }} \tan x = + \infty \\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2})}^ - }} (x + 1) = \frac{\pi }{2} + 1\end{array} \right. \to \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\frac{\pi }{2})}^ - }} \frac{{x + 1}}{{\tan x}} = 0\end{array}\)
لذا\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{x + 1}}{{\tan x}} = 0\)
توجه :در حالت کسری اگر صورت کسر عدد غیر صفر و مخرج کسر عدد بینهایت شود ان کسر بسیار بسیار کوچک (صفر حدی) می باشد مانند حالت های زیر :
\(\frac{-2}{{ - \infty }} = 0\)و \(\frac{-2}{{ + \infty }} = 0\) و \(\frac{2}{{ - \infty }} = 0\)و \(\frac{2}{{ + \infty }} = 0\)
قضیه ی ۵: اگر \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = + \infty \)و\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = L \ne 0\)اانگاه
الف ; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (f(x) + g(x)) = + \infty \)
ب: اگر\(L > 0\) آنگاه\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (f(x) \times g(x)) = + \infty \)
ج: اگر \(L < 0\) آنگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (f(x) \times g(x)) = - \infty \)
تذکر : این قضیه برای حدهای یک طرفه نامتناهی یعنی در حالت های که \(x \to {a^ + }\)و \(x \to {a^ - }\) نیز برقرار است.
مثال
توابع \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{{{x^2}}}\)و \(g(x) = x + 1\) را در نظر بگیرید.
الف حاصل \(f(x) = \frac{1}{{{x^2}}}\)و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = x + 1\)را به دست آورید.
ب حاصل \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (f(x) + g(x))\)را محاسبه کنید.
ج حاصل \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (f(x) \times g(x))\)را محاسبه کنید.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{{{x^2}}} \to \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = + \infty \) الف
\(g(x) = x + 1 \to \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (f(x) + g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) + \mathop {\lim }\limits_{x0} g(x) = + \infty \) ب
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (f(x) \times g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (f(x) \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = + \infty \) ج
قضیه ی ۶:اگر \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = - \infty \)و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = L \ne 0\)انگاه
الف \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (f(x) + g(x)) = - \infty \)
ب: اگر L>0آنگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (f(x) \times g(x)) = - \infty \)
ج: اگر L<0 آنگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (f(x) \times g(x)) = + \infty \)
تهیه کننده : جابر عامری
1736019749.png)
