حدهای نامتناهی در بی نهایت

در محاسبه ی حد توابع ممکن است وقتی X به سمت \( + \infty \) یا \( - \infty \)میل کند مقدار های (f(x به عدد خاصی نزدیک نشوند و از هر عدد دلخواه مثبت بزرگتر شوند یا از هر عدد دلخواه منفی کوچکتر شوند.

به شکل های زیر توجه کنید و تساوی های زیر را کامل کنید.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \)    (ب                                    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \) (الف

اکنون به تعاریف زیر توجه کنید.

الف : برای هر تابع مانند fکه در بازه ی \((a, + \infty )\)تعریف شده باشد اگر با بزرگ شدن مقادیر x مقادیر(f(x از هر عدد دلخواه مثبت بزرگتر شوند، می نویسند.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \)

ب : برای هر تابع مانند که در بازه ی \((a, + \infty )\) تعریف شده باشد اگر با بزرگ شدن مقادیر x مقادیر(f(x از هر عدد دلخواه منفی کوچکتر شوند، می نویسند.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \)

ج : برای هر تابع مانند که در بازه ی \(( - \infty ,a)\) تعریف شده باشد اگر با بزرگ شدن مقادیر x مقادیر(f(x از هر عدد دلخواه مثبت بزرگتر شوند، می نویسند.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty \)

د : برای هر تابع مانند او که در بازه ی \(( - \infty ,a)\)تعریف شده باشد اگر با بزرگ شدن مقادیر x مقادیر(f(x از هر عدد دلخواه منفی کوچکتر شوند، می نویسند.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty \)

حال پس از آشنایی با مفهوم حد نامتناهی در بی نهایت پیرامون این موضوع قضیه های زیر را بیان می کنیم.

قضیه ۱: فرض کنید که a عددی حقیقی و nعددی طبیعی باشد. در این صورت

الف : اگر nزوج باشد، آنگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^n} = + \infty \)‏

ب : اگر nفرد باشد، آنگاه \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^n} = + \infty \)و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^n} = - \infty \)‏

مثلاً :

‏\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty \)  و    \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^4} = + \infty \)   و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^5} = + \infty \)

توجه داشته باشید این نحوه ی نوشتن از نظر ریاضی ایراد دارد ولی برای تعیین علامت حاصل لازم است.

قضیه ۲ : اگر Lعددی حقیقی (ناصفر) و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = L\)و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = + \infty \)آنگاه :

 الف : اگر Lمثبت باشد.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) \times g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) \times \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = + \infty \)

ب : اگر منفی باشد.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) \times g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) \times \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = - \infty \)

تذکر : این قضیه برای \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x) = - \infty \)به طور مشابه برقرار است

قضیه ۳ : اگر Lبا عددی حقیقی (ناصفر) و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x) = L\)و \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x) = + \infty \)آنگاه

الف : اگر L مثبت باشد.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) \times g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) \times \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x) = + \infty \)

ب : اگرL  منفی باشد.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) \times g(x)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) \times \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x) = - \infty \)

تذکر : این قضیه برای \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g(x) = - \infty \)به طور مشابه برقرار است.

و به طور کلی قضیه ی فوق را میتوان به شکل جدول زیر تعمیم داد.

اکنون با توجه به این قضیه مثال زیر را می توان عنوان کرد.

به کمک قضایای قبل میتوان حد توابع چند جمله ای در بی نهایت را نیز محاسبه کرد. به مثال زیر توجه کنید.

‏\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (3{x^4} + 2{x^2} - 5x + 7) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^4}(3 + \frac{2}{{{x^2}}} - \frac{5}{{{x^3}}} + \frac{5}{{{x^4}}})\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^4} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (3 + \frac{2}{{{x^2}}} - \frac{5}{{{x^3}}} + \frac{7}{{{x^4}}}) = ( + \infty ) \times (3 + 0 + 0 + 0) = + \infty \end{array}\)

 با این روش می توان حد هر تابع چند جمله ای را به دست آورد به قضیه ی زیر توجه کنید.

قضیه ۴ : حد هر چند جمله ای به صورت

\(f(x) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + {a_{n - 2}}{x^{n - 2}} + ...{a_n}x + {a_0}\)

در برابر حد جمله ای از آن است که دارای بزرگترین درجه است. یعنی :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } ({a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + {a_{n - 2}}{x^{n - 2}} + ...{a_n}x + {a_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {a_n}{x^n}\)

به استدلال زیر توجه کنید.

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } ({a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + {a_{n - 2}}{x^{n - 2}} + ...{a_n}x + {a_0})\\\\\mathop { = \lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^n}({a_n} + \frac{{{a_{n - 1}}}}{x} + \frac{{{a_{n - 2}}}}{x} + ...\frac{{{a_1}}}{{{x^{n - 1}}}} + \frac{{{a_0}}}{{{x^n}}})\\\\\mathop { = \lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^n} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } ({a_n} + \frac{{{a_{n - 1}}}}{x} + \frac{{{a_{n - 2}}}}{x} + ...\frac{{{a_1}}}{{{x^{n - 1}}}} + \frac{{{a_0}}}{{{x^n}}})\\\\\mathop { = \lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^n} \times ({a_n} + 0 + 0 + ...0 + 0) = \mathop { = \lim }\limits_{x \to \pm \infty } {a_n}{x^n}\end{array}\)

لذا در حد توابع چند جمله ای با توجه به روش فاکتورگیری نتیجه میشود که حد تابع چند جمله ای ، با حد جمله ای از آن که دارای بیشترین توان باشد برابر است. از این به بعد در یک چند جمله ای ، جمله ای که دارای بیشترین توان باشد را جمله ی ارشد نام گذاری می کنیم.

به طور مشابه برای محاسبه ی حد توابع کسری مانند توابع چند جمله ای ابتدا جملات ارشد را از صورت ومخرج انتخاب نموده و پس از ساده کردن حد را محاسبه میکنیم به استدلال زیر توجه کنید.

در محاسبه ی حد توابع کسری نظیر \(f(x) = \frac{{p(x)}}{{q(x)}}\)وقتی که \(x \to \pm \infty \) به شکل زیر عمل می کنیم. ‏

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{p(x)}}{{q(x)}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } p(x)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } q(x)}} = \frac{{a\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^n}}}{{b\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^n}}} = \frac{a}{b}\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {x^{n - m}}\)

که در آن \(b{x^n}\)جمله ی ارشد صورت و \(a{x^n}\)جمله ی ارشد مخرج فرض شده است.

برای محاسبه ی حد تابع رادیکالی با فرجه ی ۳ (اسم) با توجه به روش فاکتورگیری هم ارزی های زیر حاصل می شود. این هم ارزیها را هم ارزیهای نیوتن مینامند. توجه داشته باشید که دو تابع را هم ارز گویند هرگاه حد برابر داشته باشند.

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {a{x^2} + bx + c} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt a (x + \frac{b}{{2a}})\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to + - \infty } \sqrt {a{x^2} + bx + c} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt a (x + \frac{b}{{2a}})\end{array}\)

در این دو هم ارزی عدد aمثبت فرض شده است و اگر منفی باشد تابع دارای حد نیست.