شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | حد در بینهایت](https://dl.my-dars.com/upload/image/0361739032132.jpg)
در این درس میخواهیم رفتار تابع را وقتی که متغیر X به سمت بی نهایت بی انتها میل کند، را بررسی کنیم. در این حالت گویند با حد در بینهایت سروکار داریم.
نمودار زیر ، نمودار تابع \(f(x) = \frac{1}{x}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \) می باشد.
همانطور که در این نمودار مشاهده میکنید هر چه X به سمت بی نهایت از سمت راست بزرگ و بزرگتر شود. مقادیر (f(x به صفر نزدیک میشوند به عبارتی وقتی به اندازه ی کافی بزرگ اختیار شود میتوان (f(x را به اندازه ی دلخواه به صفر نزدیک کرد در این صورت می نویسیم.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0\)
همچنین به کمک همین نمودار مشاهده میکنید هر چه X به سمت بی نهایت از سمت چپ کوچک شود.مقادیر (f(x نیز به صفر نزدیک میشوند به عبارتی xوقتی به اندازه ی کافی کوچک اختیار شود میتوان f(x)را به اندازه ی دلخواه به صفر نزدیک کرد در این صورت می نویسیم.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = 0\)
و به طور خلاصه نوشته می شود که :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f(x) = 0\)
اکنون به تعاریف زیر توجه کنید.
الف اگر تابع (f(x در بازه ای مانند \((a, + \infty )\) تعریف شده باشد گوییم حد (f(x وقتی X به سمت بی نهایت میل میکند برابر است و می نویسیم \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = l\)هرگاه بتوان با اختیار xهای به قدر کافی بزرگ فاصله ی f(x) از \(l\)
را به هر اندازه کوچک کرد.
ب اگر تابع f(x) از در بازه ای مانند \(( - \infty ,a)\)تعریف شده باشد گوییم حد (f(x وقتی به سمت بی نهایت میل میکند برابر ست و می نویسیم \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = l\)هرگاه بتوان با اختیار x های به قدر کافی بزرگ فاصله ی (f(x از\(l\) را به هر اندازه کوچک کرد.
قضیه ۱ : اگر aعددی حقیقی و nعددی طبیعی باشد، آنگاه
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{a}{{{x^n}}} = 0\)
مثال
الف \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{\sqrt 2 }}{{{x^2}}} = 0\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ - 5}}{{2{x^3}}} = 0\) ب
قضیه2:اگر\({L_1}\)
و\({L_2}\) اعداد حقیقی و\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = {L_1}\)و\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = {L_2}\)انگاه:
الف) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f + g)(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f)(x) + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (g)(x) = {L_1} + {L_2}\)
ب) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f - g)(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f)(x) - \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (g)(x) = {L_1} - {L_2}\)
ج) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f \times g)(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f)(x) \times \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (g)(x) = {L_1} \times {L_2}\)
(د \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{f}{g}(x) = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x)}} = \frac{{{L_1}}}{{{L_2}}}; {L_2} \ne 0\)
تذكر : قضیه ی فوق وقتی xبه سمت \( - \infty \) میل می کند نیز برقرار است.
مثال
الف \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (3 + \frac{5}{{{x^3}}}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } 3 + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{5}{{{x^3}}} = 3 + 0 = 3\)
ب \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{3}{{{x^2}}}}}{{\frac{5}{x} + 4}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 2 + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{3}{{{x^2}}}}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{5}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 4}} = \frac{{2 + 0}}{{0 + 4}} = \frac{1}{2}\)
تهیه کننده : جابر عامری
1736019749.png)
