حدهای نامتناهی

در سال گذشته با مفهوم حد تابع در یک نقطه آشنا شده اید. دیدیم که اگر تابع در همسایگی نقطه ی a تعریف شده باشد و مقادیر  xرا از دو طرف به اندازه ی کافی به  aنزدیک کنیم در صورتی که مقدار تابع(f(x به عدد معلوم Iنزدیک شود. گویند تابع در حد دارد و می نویسند:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{{x^n}}} = + \infty \)

در این درس با رفتار برخی دیگر توابع در همسایگی محذوف یک نقطه آشنا می شویم.

نمودار زیر ، نمودار تابع \(f(x) = \frac{1}{x}\)می باشد.

این همسایگی می تواند محذوف باشد.

همانطور که در این نمودار مشاهده می کنید هر چه X با مقادیر بزرگتر از صفر به صفر نزدیک شود، مقادیر  f(x)بدون هیچ محدودیتی افزایش می یابد به عبارتی دیگر میتوان  f(x)را از هر عدد مثبتی که دلخواهی که در نظر بگیریم بزرگتر کرد به شرطی که x را به اندازه ی کافی با مقادیر بزرگتر از صفر به صفر نزدیک کرد. در این صورت می نویسیم.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = + \infty \)

همچنین در این نمودار مشاهده میکنید. هر چه با مقادیر کمتر از صفر به صفر نزدیک شود، مقادیر (f(x بدون هیچ محدودیتی کاهش می یابد به عبارتی دیگر میتوان (f(x را از هر عدد منفی که دلخواهی که در نظر بگیریم کوچکتر کرد به شرطی که x را به اندازه ی کافی با مقادیر کمتر از صفر به صفر نزدیک کرد. در این صورت می نویسیم.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = - \infty \)

باز تاکید میشود که این نماد نشان میدهد که حد فوق موجود نیست چون مقدار تابع به عدد خاصی نزدیک نمی شود و منفی بی نهایت فقط یک نماد است که نمایش میدهد مقدار تابع از هر عدد منفی می تواند کوچکتر باشد.

با درک توصیف های ، فوق برای نمودار تابع \(f(x) = \frac{1}{x}\)می توان حدهای یک طرفه نامتناهی را بدین شکل تعریف کرد.