درسنامه کامل ریاضی هشتم فصل 5 بردار و مختصات

بردار در ریاضی به پاره خط جهت دار بردار می گوییم. بردار \(OA\)  را با \(\overrightarrow {OA} \) نشان می دهیم.

دو بردار وقتی برابرند که هم راستا هم اندازه و هم جهت باشند. مانند بردارهای \(\overrightarrow {CD} \) و \(\overrightarrow {EF} \) :

دو بردار را قرینه می گوییم وقتی هم راستا و هم اندازه باشند. ولی جهت هایشان عکس یکدیگر باشد مانند دو بردار \(\overrightarrow {AB} \) و \(\overrightarrow {CD} \) در شکل روبرو:

در شکل زیر ابتدا از نقطه ی 1 بردار انتقال a به نقطه ی B می رویم. یعنی ۲ واحد به سمت چپ (افقی) و ۴ واحد به سمت بالا عمودی حرکت می کنیم .

پس بردار انتقال\(\overrightarrow a \)برابر است با \(\overrightarrow a = \left[ \begin{array}{l} - 2\\4\end{array} \right]\)  سپس با بردار انتقال \(\overrightarrow b \)از نقطه ی B به نقطه ی C می رویم: \(\overrightarrow b = \left[ \begin{array}{l} - 3\\ - 2\end{array} \right]\)

نقطه ی A با بردار \(\overrightarrow {AC} \) به طور مستقیم به نقطه ی C منتقل شده است. نام آن را بردار انتقال \(\overrightarrow C \)  می گذاریم.

می توان گفت \(\overrightarrow C \)  کار دو بردار انتقال \(\overrightarrow a \)و \(\overrightarrow b \) را انجام می دهد. به بردار \(\overrightarrow C \) بردار برآیند یا حاصل جمع می گویند.

اگر بردار های a و b را با هم جمع کنیم، داریم:

\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left[ \begin{array}{l} - 2\\ + 4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} - 3\\ - 2\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} - 5\\ + 2\end{array} \right]\)

که حاصل آن طبق شکل بالا برابر \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c = \left[ \begin{array}{l} - 5\\ + 2\end{array} \right]\)  است. بنابراین میتوان یک تساوی برداری به صورت \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow c \)  نوشت که تساوی مختصاتی آن هم در بالا نوشته شد.

برای مثال:

در شکل روبرو بردار\(\overrightarrow a \)حاصل جمع دو بردار\(\overrightarrow b \)و \(\overrightarrow c \)  است.

جمع برداری :\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow c \)

و اگر مختصات آنها را از روی شکل بنویسیم داریم:

جمع مختصاتی: \(\left[ \begin{array}{l} + 1\\ - 4\end{array} \right] + \left[ \begin{array}{l} + 4\\ + 2\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} + 5\\ - 2\end{array} \right]\)

برای مثال می خواهیم دو بردار مساوی بردار\(\overrightarrow a \) در شکل روبرو رسم کنیم.

مختصات\(\overrightarrow a \) به صورت \(\overrightarrow a = \left[ \begin{array}{l}2\\3\end{array} \right]\)  است. پس مختصات بردارهای رسم شده هم باید همین باشد. می توان بردارهای دیگری نیز مساوی بردار \(\overrightarrow a \)رسم کرد.

حال با استفاده از نکته بالا می خواهیم حاصل جمع بردارهای\(\overrightarrow a \)و\(\overrightarrow b \)را رسم کنیم:

ابتدا دو بردار را دنبال هم رسم می کنیم سپس انتهای\(\overrightarrow a \) را به ابتدای\(\overrightarrow b \) وصل می کنیم بردار حاصل جمع به دست می آید. آن را \(\overrightarrow c \)می نامیم:

پس: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow c \)

روشی که در بالا برای رسم بردار حاصل جمع گفته شد روش مثلثی نام دارد. روش دیگر برای رسم حاصل جمع دو بردار روش متوازی الاضلاع نام دارد؛ به این صورت که دو بردار را از یک نقطه ی دلخواه به صورت اضلاع مجاور یک متوازی الاضلاع رسم می کنیم، متوازی الاضلاع را تشکیل می دهیم (می دانیم که ضلع های روبروی متوازی الاضلاع با هم برابرند( و قطر متوازی الاضلاع بردار حاصل جمع خواهد بود:

\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow c \)

برای بدست آوردن حاصل جمع سه بردار، ابتدا حاصل جمع دو بردار را به دست می آوریم و سپس بردار حاصل جمع را با بردار سوم جمع می کنیم

جمع بردارهای قرینه برابر بردار صفر است. آن را با\(\overrightarrow o \) نشان میدهیم و مختصات آن به صورت\(\left[ \begin{array}{l}0\\0\end{array} \right]\)  است.

قرینه ی \(\overrightarrow a \)را با \( - \overrightarrow a \) نشان می دهیم:

\(\overrightarrow a + ( - \overrightarrow a ) = \overrightarrow o \)

تجزیه ی یک بردار در راستاهای داده شده یعنی دو بردار به دست بیاوریم که حاصل جمع آنها بردار داده شده باشد.

در شکل زیر بردار a در راستاهای آبی رنگ تجزیه شده است. همان طور که می بینید تصویر بردار\(\overrightarrow a \)را بر راستاهای داده شده رسم کرده ایم. می توان بردار \(\overrightarrow a \)را به صورت حاصل جمع و نوشت: \(\overrightarrow a = \overrightarrow b + \overrightarrow c \)

بردارهای a و b در شکل زیر را در نظر بگیرید:

این دو بردار هم جهت هستند اما اندازه ی بردار b سه برابر اندازه ی بردار a است.مختصات آنها را می نویسیم و با هم مقایسه می کنیم:

\(a = \left[ \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right]{\rm{ b = }}\left[ \begin{array}{l}6\\3\end{array} \right]\)

همان طور که می بینید طول و عرض در ۳ ضرب شده اند:

\(3 \times \left[ \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}6\\3\end{array} \right]{\rm{ }}3 \times \overrightarrow a = \overrightarrow b \)

اکنون دو بردار زیر را در نظر بگیرید:

همانطور که می بینید این دو بردار هم جهت نیستند در واقع دو جهت مخالف دارند. حال مختصات آنها را می نویسیم:

\(\begin{array}{l}a = \left[ \begin{array}{l}1\\ + 3\end{array} \right]{\rm{ b = }}\left[ \begin{array}{l} + 2\\ - 6\end{array} \right]\\\\( - 2) \times \left[ \begin{array}{l} - 1\\3\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} + 2\\ - 6\end{array} \right] \Rightarrow ( - 2) \times \overrightarrow a = \overrightarrow b \end{array}\)

این دو بردار هم راستا هستند ولی هم جهت نیستند.پس برای بدست آوردن حاصل ضرب یک عدد در یک بردار آن عدد را در طول و عرض آن بردار ضرب می کنیم:

\(k{\rm{ \times }}\left[ \begin{array}{l}x\\y\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l}kx\\ky\end{array} \right]\)

همان طور که می دانیم برای اندازه گیری هر کمیتی از یک واحد استفاده می کنیم. مثلا واحد اندازه گیری زمان ساعت یا دقیقه یا ثانیه است و واحد اندازه گیری زاویه درجه است برای اندازه گیری بردار نیز به واحد نیاز داریم این واحد باید از جنس بردار باشد با توجه به اینکه بردار در صفحه ی مختصات با دو محور نمایش داده می شود به واحدی روی هر دو محور نیاز داریم:

بردار \(\overrightarrow i \) بردار واحد طول و بردار\(\overrightarrow j \)بردار واحد عرض نام دارد.مختصات آنها به صورت زیر است.

\(\overrightarrow i = \left[ \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right],\overrightarrow j = \left[ \begin{array}{l}0\\1\end{array} \right]\)

هر بردار را می توانیم به صورت حاصل جمع مضرب هایی از دو بردار\(\overrightarrow i \)و \(\overrightarrow j \)بنویسیم.

مثلا در شکل زیر بردار\(\overrightarrow a \)برابر است با : \(\overrightarrow a = 4\overrightarrow i + 2\overrightarrow j \)

همچنین می توانیم مختصات بردار\(\overrightarrow c \)را با استفاده از بردارها \(\overrightarrow i \) و \(\overrightarrow j \)واحد بدست آوریم.