جواب سوال متن صفحه 23 درس 1 هندسه دوازدهم (ماتریس و کاربردها)

ابتدا {A^{ - 1}} را محاسبه می نماییم:

\(\begin{array}{l}\left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\1&4\end{array}} \right| = 2 \times 4 - 3 \times 1 = 5\\\\{A^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| A \right|}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 3}\\{ - 1}&2\end{array}} \right] = \\\\\frac{1}{5}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 3}\\{ - 1}&2\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{4}{5}}&{\frac{{ - 3}}{5}}\\{\frac{{ - 1}}{5}}&{\frac{2}{5}}\end{array}} \right]\end{array}\)

حال \({({A^{ - 1}})^{ - 1}}\) را محاسبه می نماییم:

\(\begin{array}{l}\left| {{A^{ - 1}}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{4}{5}}&{\frac{{ - 3}}{5}}\\{\frac{{ - 1}}{5}}&{\frac{2}{5}}\end{array}} \right| = \\\\\frac{4}{5} \times \frac{2}{5} - \frac{{ - 1}}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{5}{{25}} = \frac{1}{5}\\\\{({A^{ - 1}})^{ - 1}} = \frac{1}{{\left| {{A^{ - 1}}} \right|}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{5}}&{\frac{3}{5}}\\{\frac{1}{5}}&{\frac{4}{5}}\end{array}} \right] = \\\\\frac{1}{{\frac{1}{5}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{5}}&{\frac{3}{5}}\\{\frac{1}{5}}&{\frac{4}{5}}\end{array}} \right] = 5\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{5}}&{\frac{3}{5}}\\{\frac{1}{5}}&{\frac{4}{5}}\end{array}} \right] = \\\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\1&4\end{array}} \right]\end{array}\)

نتیجه می گیریم که وارون وارون هر ماتریس مربع وارون پذیر A برابر با خود ماتریس A می باشد؛ فقط تنهاترین شرط آن این است که ماتریس مربعی مورد نظر وارون پذیر باشد:

\({({A^{ - 1}})^{ - 1}} = A\)