زاویه ی خارجی مثلث 

زاويه ی خارجی مثلث 
زاويه خارجي زاويه اي است كه بين يك ضلع و امتداد ضلع ديگری مثلث باشد مانند زاويه. α در شكل مقابل

 .بديهي است كه هر زاويه ي خارجي و زاويه داخلي مجاور  آن، مكمل يكديگرندي
 

∠z + ∠α = 180

قضيه .: در هر مثلث هر زاويه ي خارجي با مجموع دو زاويه داخلي غيرمجاورآن برابر است

 ∠ α = ∠x + ∠y                                                                                   : حكم

اثبات : با توجه به شكل فوق داريم
 \(\left. \begin{array}{l}\hat z = \hat a = 180\\\hat x + \hat y + \hat z = 180\end{array} \right\}\hat z + \hat a = \hat x + \hat y + \hat z \to \hat a = \hat x + \hat y\)
قضيه: هاي روبرو به اضلاع الساقين، زاويه در هر مثلث متساوي مساوي با يكديگر مساويند
 : فرض AB = AC
 : حكم∠ B = ∠C
 
اثبات :  از رأس مثلث (رأس A) خطي چنان رسم مي كنيم كه نيمساز زاويه ي متناظر آن (زاويه A ) باشد و قاعده مثلث  (ضلع BC )را در نقطه D کند : در اين صورت داریم

\(\left. \begin{array}{l}AB = AC\\\hat a = \hat B\\AD = AD\end{array} \right\}ABD \cong ACD = \hat B = \hat C\)

قضیه ی :. هر مثلث كه دو زاويه ي مساوي داشته باشد، متساوي الساقين است
 فرض :∠ B = C ∠
 : حكم AB = AC 
اثبات: از رأس A خطي چنان رسم مي كنيم كه نيمساز زاويه A باشد و ضلع  BC  را در نقطه Dقطع كند چون مجموع زاويه هاي داخلي هر مثلث .180 است پس . y = ∠x ∠: حال میتوان نوشت

\(\left. \begin{array}{l}\hat x = \hat y\\\hat a = \hat B\\AD = AD\end{array} \right\} \to ABD \cong ACD \to AB = AC\)          ( ز ض ز)

:قضيه: .در هر مثلث متساوي الساقين اجزاي فرعي نظير رأس مثلث برهم،منطبقند 
: اثبات :در مثلث متساوي الساقين ABC در شكل مقابل نيمساز زاويه رأس آن(يعني رأس A)را رسم مي کنیم حال ثابت مي كنيم كه اين نيمساز ، ميانه و ارتفاع وارد بر ضلع BC باشند، كه نتيجه مي شود،.عمود منصف نظير آن نيز هست
 
 
 \(\left. \begin{array}{l}\hat x = \hat y\\AB = AC\\AM = AM\end{array} \right\} \to ABD \cong ACD \to \hat a = \hat \beta \)
 و چون دو زاويه β و α : مكمل يكديگرند، پس 

\(\hat a = \hat \beta = 90 \to AM \bot BC\)
پس AM ارتفاع وارد بر ضلع BC .است
از طرفي چون دو مثلث ABM و ACM همنهشت مي باشند، لذا MC = BM يعني. AM ميانه وارد بر ضلع BC .است و چون AM هم ميانه و هم ارتفاع وارد بر ضلع BC . لذا عمود منصف نظير آن نيز هست.

:نتيجه :چون هر متساوي الاضلاع ، متساوي الساقين نيز مي باشد لذا در مثلث متساوي الاضلاع ، ميانه.،.نيمساز ، ارتفاع و عمود منصف هر رأس بر هم منطبق هستند