قضیه ی فیثاغورس

قضیه ی فیثاغورس 

در هر مثلث قائم الزاويه مربع وتر با مجموع مربعهاي دو ضلع ديگر آن برابراست

حکم : \({a^2} + {b^2} = {c^2}\)

اثبات  : ابتدا مربعي به ضلع b + aرسم مي كنيم سپس در اين مربع چهار مثلث قائم،الزاويه با اضلاع b و a تشكيل می دهيم 
 
 :بنا به حالت (زض ض) ين چهار مثلث با همديگر و با مثلث اصلي همنهشت هستندا براي مثال

\(\left. \begin{array}{l}BC = AD\\\hat C = \hat D = 90\\AC = DE\end{array} \right\} \to ABC = ADE\)
و لذا تمام مثلث ها داراي وتر هاي مساوي هستند از طرفي .

\(\left. \begin{array}{l}s + t = 90\\r = t\end{array} \right\}s + r = x = 90\)

يعني چهارضلعي حاصل از چهار وتر (چهارضلعي CDFH ) داراي  چهارضلع مساوي داردو يك زاويه قائمه است و لذا مربع است
 :اكنون طبق اصل مجموع مساحت ها مي توان نوشت
 مساحت 4 مثلث همنهشت + مساحت مربع كوچك= مربع بزرگ

\({(a + b)^2} = {c^2} + 4(\frac{1}{2}ab) \to {a^2} + 2ab + {b^2} = {c^2} + 2ab \to {a^2} + {b^2} = {c^2}\)

توجه : در اين اثبات تعريف مربع را دانسته فرض كرديم .
قضيه (عكس قضيهي فيثاغورس) :
اگر در مثلثي مربع بزرگترين ضلع با مجموع مربعهاي دو ضلع ديگر برابر باشد آن مثلث قائمالزاويه و زاويه يروبرو به ضلع بزرگتر قائمه است .
 

 فرض : \({a^2} + {b^2} = {c^2}\)
اثبات : مثلثي قائم الزاويه به نام DEF طوري رسم مي كنيم كه اضلاع زاويه ي قائمهي آنbو aباشند.آنگاه داريم 

\({a^2} + {b^2} = {x^2}\)

و با مقايسه با فرض قضيه ميتوان نوشت :

\({x^2} = {c^2} \to x = c\)
لذا مثلثهاي ABC و DEF بنا به حالت ( ض ض ض) همنهشت هستند و چون زاويه ي D قائمه است پس زاويه ي متناظر آن يعني زاويه يC نيز قائمه است .
قضيه: هرگاه وتر و يك ضلع از يك مثلث قا ئمالزاويه با وتر و 
يك ضلع از مثلث قائمالزاويهي ديگري برابر باشند آن دو مثلث 
همنهشت هستند .
 فرض : AB = DE و AC = DF
 حكم : ABC) ≅∆(DEF))∆

 اثبات :چون هر دو مثلث قائم الزاويه هستند پس رابطه فيثاغورس را براي هر مثلثي می توان به صورت زيرنوشت 

\(\left. \begin{array}{l}ABC:{x^2} + {b^2} = {c^2}\\DEF:{y^2} + {b^2} = {c^2}\end{array} \right\} \to {x^2} = {y^2} \to x = y\)
 .و لذا دو مثلث به حالت (ض ض ض ) همنهشت هستند

:قضيه :.هرگاه نقطه اي از دو ضلع زاويه ای به يك فاصله باشد آن نقطه روي نيمساز زاويه قرار دارد
  : فرض MH = MK 
 :حکم ∠ α = β ∠

:اثبات دو مثلث OMH و OMK قائم الزاويه هستند . پس : 
\(\left. \begin{array}{l}MH = MK\\OM = OM\end{array} \right\} \to OHM = OMK \to \hat a = \hat \beta \)
 چندضلعي منتظم
 .هر چند ضلعي را منتظم گويند، هرگاه تمام اضلاع آن برابر و تمام زاويه هاي آن نيز برابر باشند
مثلاً مثلث متساوي الاضلاع كه سه ضلعي منتظم و  مربع كه چهارضلعي منتظم است
:نتيجه اندازه هر زاويه داخلي ي nضلعي منتظم برابر \(\frac{{(n - 2) \times 180}}{n}\) درجه است ( چرا ؟)