شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | مفهوم اصل](https://dl.my-dars.com/upload/image/041726647273.jpg)
هر واقعيت كه بديهي بوده ونيازمند استدلال نباشد را اصل مي نامند.
به اصول زير توجه كنيد
اصل1 از يك نقط روى صفحه جند خط مي گذرد.
اصل ٢ از هر دو نقطه متمايز روى صفحه فقط و فقط يك خط راست مي گذرد.
اصل 3 از هر نقطه ى خارج يك خط راست فقط و فقط يك خط راست موازی آن مي توان رسم كرد. اصل توازي اقليدس)
برخي از اصول رياضی هم مي توان در اينجا مورد توجه قرار داد.
اصل 1 دو مقدار مساوى با يك مقدار ، خود با هم مساويند.
\(\left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\end{array} \right. \to a = c\)
اصل ٢ به دو طرف يك تساوى مي توان يك مقدار ثابت اضافه يا كم كرد و تساوى جديدي به دست آورد
a = b a + x = b + x
اصل 3 دو طرف یک تساوی می توان یک مقدار ثابت غیر صفر ضرب یا تقسیمکردوتساوی جدیدی به دست آورد
\(a = ba \times x = b \times x\)
اصل 4 دو تساوی را میتوان جمع یا کم کرد و تساوی جدیدی بدست اورد
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b}\\{b = c}\end{array}} \right. \to a = c = b + d\)
اصل 5 دو تساوی را می توان ضرب یا تقسیم کرد و تساوی جدیدی بدست اورد
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b}\\{b = c}\end{array}} \right. \to a = c = b \times d\)
البته اصول مربوط به نامساوى ها هم گاهي مورد استفاده قرار مي گيرند، كه در اينجا آنها را دانسته فرض می كنيم.
نتايج بدست آمده از استدلال استقرايي قطعي نيستند و گاهي قابل ردهستند. براى رد يك نتيجه كلى كه از استدلال استقرايي بدست مي آيد، ارائه ي يك مثال نقض كافي است. مثال نقض ، مثالى است كه نشان مي دهد يك نتيجه گيرى كلى نادرست است.
مثال
گزاره ى زير را در نظر بگيريد. حاصل جمع هر دو عدد گنگ ، يك عدد گنگ است.
این گزاره درست نيست، زيرا اعداد \(\sqrt 2 \) و \(\sqrt 2 \)_ هر دو گنگ هستند ولى حاصل جمع أنها برابر صفر است كه يك عدد گويا مي باشد
(\(\sqrt 2 \)_)+(\(\sqrt 2 \))=0
نتيجه
براى پذيرفتن درستى يك گزاره لازم ست استدلال كرد و اين استدلال بايد استنتاجي باشد ولى برای رد درستى يك گزاره ارائه درستى يك مثال نقض كافي است.
إز دو گزارى زير آنكه درست است، ثابت كنيد و آنكه نادرست است با يك مثال نقض رد كنيد
الف درهر مثلث ميانه ي وارد بر يك ضلع از ارتفاع نظير همان ضلع بزرگتر است.
اين گزاره نادرست است، زيرا در مثلث متساوى الساقين ميانه و ارتفاع وارد بر قاعده بر هم منطبق هستندو لذا با هم مساويند.
ب درهر مثلث ، اندازه ى هر زاويه ى خارج برابر مجموع دو زاويه ى داخلي غير مجاور آن است
اين گزاره درست است. براى اثبات آن از تعريف زاويه ى خارجي و همچنين مجمـوع زاويـه هـاى داخلى استفاده مي كنيم
\(\left. \begin{array}{l}x + t = 180\\y + z + t = 180\end{array} \right\} \to x + t = y + z + t \to x = y + z\)
مفهوم قضيه هر گزاره ى درست و كلى كه به كمك استدلال استنتاجى بدست مي آيد را قضيه مي نامند.
مثال
1 در هر مثلث قائم الزاويه مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع ديكر برابر است.
٢ مجموع زاويه هاي داخلى هر مثلث ١80 درجه است.
3 درهر مثلث مجموع اندازه هاى هر دو ضلع از اندازهى ضلع سوم بزركتر است.
4 براى هر دو عدد حقيقى و مثبت x , y همواره \(\frac{{x + y}}{2} \ge \sqrt {xy} \) است
5 برای هر دو مجموعه a,b هموراه \(a - b = a \cap b\)
هر قضيه را مي توان به صورت يك گزاره ى مركب (كه به صورت تركيب شرطي بيان ميشود) نوشت. بنابراين داراي دو قسمت مي باشد:
فرض ( شرط) : آن قسمت ازگزاره است كه آن را مي پذيريم.
حکم (جواب شرط) : آن قسمت از گزاره است كه بايد درستى آن را نتيجه بگيريم. بنابراين هر قضيه داراي الگويي به صورت زير است
مثال
قضيه ى زير را در نظر بگيريد.
قضيه :درهر مثلث متساوى الساقين ، دو زاويه ى مجاور به قاعده مساويند.گرچه اين قضيه به ظاهرگزاره شرطی نيست ولى مي توان به سادكي آن را به شكل زير نوشت .
فرض : اگر مثلث متساوى الساقين باشد
حکم : آنگاه دو زاويه ى مجاور به قاعده آن مساويند
AC=AB :فرض
\(\angle B = \angle C\) :حکم
قضيه ها در رياضى و هندسه بايد اثبات شوند، به عبارت ديگر برا درستى أنها بايداستدلال كرد. هر حركت مرحله به مرحله و منطقى كه به كمك استدلال استنتاجي، منجر به رسيدن به حكم قضيه شود را اثبات قضيه گویند
بديهي است كه تشخيص فرض و حكم هر قضيه براى اثبات آن قضيه مهم است، اولين گام در اثبات هر قضيه تعيين فرض و حكم آن است. آخرين مرحله در اثبات هر قضيه رسيدن به حكم آن است.
