همنهشتی دو مثلث

هم نهشتي دو مثلث
دو مثلث را هم نهشت گويند ، هرگاه بدون تغيير آنها بر يكديگر قابل انطباق باشند. اگر با انتقال يك مثلثABC يا با چرخاندن آن بتوان آن را بر مثلث DEF منطبق كرد، مي گويند اين دو مثلث هم نهشت هستند و مي نويسند(DEF) ≅ ∆(ABC) ∆


توجه داشته باشيد كه بنابر بر اصل معروف به اصل تغيير ناپذيري هر شكل هندسي ضمن جا به جا شدن تغييرنمي کند

نتيجه : اگر دو مثلث همنهشت باشند، آنگاه 
الف) تمام اضلاع و زاويههاي متناظر آنها مساويند.

ب) مساحت و محيط هر دو نيز مساوي است .
 حالت هاي همنهشتي دو مثلث 
اساسي ترين راه براي تعيين همنهشتي دو مثلث ، انطباق آنها است. اگر چه اين روش بسيار ابتدايي و ساده مي نمايد، اما يك راه حل عملي و مفيد نيست و استفاده از حالت هاي همنهشتي دو مثلث ساده تر است. لذا مي توان اصول زير براي تعيين همنهشتي مثلث ها را بيان كرد .
اصل )1 هر گاه دو ضلع و زاويه ي بين آنها از يك مثلث با دو ضلع و زاويهي بين آنها از مثلث ديگري مساوي باشند،آن دو مثلث همنهشت هستند. (اصل ض ز ض ).
اصل )2 هر گاه دو زاويه و ضلع بين آنها از يك مثلث با دو زاويه و ضلع بين آنها از مثلث ديگري مساوي باشند،آن دو مثلث همنهشت هستند. (اصل ز زض ).
اصل )3 هر گاه سه ضلع از مثلثي با سه ضلع از مثلث ديگري مساوي باشند،آن دو مثلث همنهشت هستند. (اصل ض ض ض ).
تمرين 6: در دو دايرهي هم مركز شكل مقابلCD = AB . ثابت كنيد كه COD = ∠AOB ∠.

ويژگي هاي عمود منصف يك پاره خط
.ويژگي هاي عمود منصف يك پاره خط را در قالب قضيه هاي زير بيان مي كنيم 
:قضيه : هر نقطه که روی عمود منصف یک پاره خط قرار دارد از دو سر ان پاره خط به یک فاصله است 

اثبات :

\(\left. \begin{array}{l}mH = mH\\\hat x = \hat y = 90\\AH = BH\end{array} \right\}AmH \cong BmH \to mA = mB\)

قضیه : اگر نقطه ی از دو سر یک پاره خط به یک فاصله باشد ان نقطه  روی عمود منصف پاره خط قرار دارد 

اثبات : از نقطه ی m خطی چنان رسم می کنیم که از نقطه ی وسط پاره خط AB بگذرد پس :

\(\left. \begin{array}{l}mH = mH\\mA = mB\\AH = BH\end{array} \right\}A\hat mH \cong B\hat mH \to \hat x = \hat y\)

از طرفی اصل زاویه ی نیم صفحه واضح است که \(\hat x = \hat y = 180\) پس \(\hat x = \hat y = 90 \to d \bot AB\)

خطهاي مورب 
هرگاه دو خط را خط سومي قطع كند، اين خط را مورب (قاطع) گويند .
همچنين :
1 : هر دو زاويه كه در يك طرف خط مورب واقع باشند را متقابل گويند. مانند زاويه هاي (z و x ) يا زاويه هاي ( y و t ) 
2 : هر دو زاويه كه در دو طرف خط مورب واقع باشند را متبادل گويند. مانند زاويه هاي ( t و x ) يا زاويه هاي (z و t )
3 : هر زاويه كه بين دو خط قطع شده قرار گرفته باشد داخلي و در غير اين صورت خارجي گويند. براي مثال 
زاويه ي x خارجي و زاويه هاي t وz و y داخلي مي باشند .
3 قضيه : (قضيه ي خطوط موازي ):اگر دو خط موازي را خطه سومي قطع كند، زاويه اي متبادل داخلي مساوي به دست مي آيد
 فرض : a || b

حكم :∠ α = ∠β

قضيه : اگر دو خط را خط سومي قطع كند و دو زاويه ي متبادل داخلي متساوي باشند، آن دو خط موازي يكديگرند .
 فرض : x =∠α>

حكم : a || b 

اثبات (به روش برهان خلف) : گيريم كه b || a نباشد. پس از نقطهي B خط c را موازي a رسم ميكنيم و لذا ميتوان نوشت: β = ∠x ∠از طرفي طبق فرض داشتيم α = ∠x ∠لذا β = ∠α∠اين وقتي ممكن است كه خط c بايد روي b واقع باشد. پس  a || b

نتيجه : اگر خط موربي دو خط موازي را قطع كند، در اين صورت 
 1: .تمام زاويه هاي حاده با يكديگر مساويند
 2: .تمام زاويه هاي منفرجه با يكديگر مساويند
 3: .يك زاويه ي منفرجه و  يك زاويه حاده مكمل يكديگرند

قضیه :.مجموع زاويه هاي داخلي هر مثلث درجه است180

 حكم :  \(\hat x + \hat y + \hat z = 180\)
 
 
:اثبات از رأس A خطي موازي ضلع BCرسم مي كنيم :آنگاه داريم .
و d || BC→ ∠x = ∠α  مورب AB
و d || BC→ ∠z = ∠β مورب AC

 
از طرفي بنا بر اصل زاويه نيم صفحه مي توان نوشت: 

\(\hat x + \hat y + \hat B = 180 \to \hat x + \hat y + \hat z = 180\)
نتيجه :.دو زاويه در هر مثلث قائم الزاويه ي حاده ، متمم يكديگرند
\(\hat x + \hat y = 90\)

قضيه : هرگاه وتر و يك زاويه ي حاده از يك مثلث قائم الزاويه با وتر و يك زاويه ي حاده از مثلث قائم الزاويه ي ديگري مساوي باشند،آن دو مثلث همنهشت هستند

\(\begin{array}{l}AC = DF,\hat A = \hat D\\A\hat BC = D\hat EF\end{array}\)

اثبات : طبق قضیه ی قبل چون مجموع زوایای داخلی مثلث 180 درجه است  پس داریم :

\(\hat c = \hat f\)

\(\left. \begin{array}{l}\hat C = \hat f\\AC = Df\\\hat A = \hat D\end{array} \right\} \to A\hat BC = D\hat Ef\)