قضیه ی عکس

اگر جاى فرض و حكم يك قضيه را جابجا كنيم، يك گزاري شرطى جديد بدست مى آيد كه آن را عكس قضيه مي ناميم. عكس قضيه، ممكن است درست و ممكن است نادرستباشد. 
درصورتي كه عكس يك قضيه درست باشد، آن را قضيه عكس مي نامند. 

در مثال زير عكس قضيه درست نيست. 

قضيه ى دو شرطي : اكر عكس يك قضيه ي شرطى خود يك قضيه ي شرطى باشد. به كمك يكي از الگو ها  زير مي توان آن دو قضيه را تركيب كرد و به صورت يك قضيه بيان نمود. اين قضيه را قضيه ى دو شرط  مى نامند.

اگر p آنگاه q و برعكس 
p اگر و تنها اگرq

p شرط لازم و كافي است براى q
مثال  قضيه: اگر مثلثى قائم الزاويه باشد، انگاه مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع ديگر آن برابر است. قضيه ي عكس: اگر در مثلثى مربع يك ضلع با مجموع مربعات دو ضلع ديگر برابر باشد، آنگاه آن مثلث قائم الزاويه است. قضيه ى دوشرطي: ار مثلثى قائم الزاويه باشد، آنكاه مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع دير آن برابر استوبرعكس 
مثلث قائم الزاويه است اگر و تنها اگر مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع ديگر آن برابر باشد. قائم الزاويه بودن مثلث شرط لازم وكافي است براى اينكه مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع ديگر برابر باشد

عكس نقيض يك قضيه:

اگر فرض وحكم قضيه ا  را جابجا و نقيض كنيم، كزارى حاصل همواره درست خواهد بود. اين گزاره را قضيه ى عكس نقيض مي نامند.

برهان خلف ( اثبات غير مستقيم) گاهي اوقات براى اثبات يك قضيه نشان مي دهيم كه خلاف حكم آن درست نيست و سپس نتيجه  گيريم با اين شرايط خود حكم درست است. اين روش استدلال كه نوعى استدلال استنتاجي است را برهان خلف  اثبات غير مستقيم مي نامند. روند كار در اين روش بدين ترتيب است كه ابتدا خلاف حكم را تشكيل مي دهيم و آن را فرض خلف مي ناميم، سپس استدلال خود را با تكيه بر اين فرض ادامه مي دهيم. در نهايت به خلاف فرض يا يك قضيه ى اثبات شدهى قبلى يا خلاف يك اصل (حقيقت) مي رسيم. در آخر فرض خلف را باطل مي كنيم و خود حكم رامي پذيريم مثال ١: ثابت كنيد كه، از يك نقطه ى غير واقع بر يك خط راست نمى توان بيش از يك خط بر آن عمود کرد.

اثبات به روش برهان خلف : فرض مي كنيم كه اين حكم نادرست است موازي  نقطه ى دلخواه ماند A واقع بر خارج خط d مي توان دو عمود بر آن رسم كرد. 
در اين صورت يك مثلث تشكيل مي شود كه دو زاويه ى قائمه دارد. لذا مجموع زاويه ها  داخلي اين مثلث بيش از ٨٠  درجه خواهد شد و اين غير ممكن است. پس فرض خلف نمى تواند درست باشد و حكم درست است.