گزاره و استدلال

براي ورود به بحث هاي هندسي، لازم است برخي از مفاهيم اساسي و مورد نيـاز از قبيـل گـزاره، اسـتدلال ، تعريف ، قضيه و...... را معرفی نماییم در ضمن معرفي اين مفاهيم به ناچار برخي اصطلاحات مفاهيم  رياضي و هندسه را بكار ببريم گرچه ممكن است در ادامه تعريف ي دقيق براي آنها ارائه شود ولي در ابتدا آنها را پيش دانسته فرض مي كنيم
مفهوم گزاره: گزاره يك جمله خبري است كه دقيقا درست يا نادرست باشد، اگرچه درستي يا نادرستي آن بر ما معلوم نباشد

نقیض گزاره:اگر ضمن و حفظ موضوعيت ارتباط، يك گزاره چنان تغيير كنـد كـه ارزش آن تغييـر كنـد،گويند نقيض گزاره نوشته شده است  انقيض يك گـزاره ي درست ،گزاره اي نادرست و ننقيض يك گزاره ی نادرست گزاره نادرست  گزاره اي درست مي باشد  واقع ارزش نقيض يك گزاره دقيقاً مخالف آن گزاره است 

گزاره هاي مركب : گزاره مي تواند تنها يك خبر را اعلام كند كه به آن گزاره  ساده مي گويند. اگر گزاره اي بيش از يك خبر را اعلام كند و تركيب  از دو  یا چند گزار  ساده باشد، آن را گزاري مركب مي گويند. براى مثال گزاره  زير يك گزاره  مركب است

(عدد 5 اول است و عدد 7 مركب است ).
همانطور كه معلوم است اين گزاره از دو گزاره ي ساده تشكيل شده است كه با حرف رابط ( و ) به هم متصل شده اند.گزاره ي اول درست ولي گزاره ي دوم نادرست مي باشد. كل گزاره نيز نادرست محسوب مي شود .گزاره هاي ساده را مي توان به صورت هاي مختلفي تركيب كرد. رايج ترين آنها به شكل زير است .
الف : تركيب دو گزاره با حرف ربط ( و) كه تركيب عطفي ناميده مي شود

تركيب دو گزاره با حرف ربط ( يا) كه تركيب فصلي ناميده مي شود . 

ج: تركيب دو گزاره با حرف ربط ( اگر .... آنگاه ..... ) كه تركيب شرطي ناميده مي شود

گاهي اوقات يك جمله  خبرى مانند نمونه ها  زير شامل يك يا چند متغير است وبه ازاء قرار دادن مقادير مختلف به جا متغير آن تبديل به يك گزاره مي شود، جنين جملاتي را  زاره نما مي نامند. در واقع بدون قرار دادن مقدار بهجاى متغير نمى توان در مورد درستى يا نادرستى گـزاره نمـا قضاوت كـرد. مجموعه ى مقاديرى كه اگر اعضاي آن را به جا  متغير گزاره نما جايگزين كنيم  گزاره نما را به يك گـزاره درست تبديل كند را مجموعه جواب گزاره نما مي نامند.

مشابه نقيض  گزاره ، براى گزاره نما هم مي توان نقيض نوشت. 
 گزاره نما : a عددى فرد است.

نقيض گزاره نما : a عددى زوج است.

استدلال و انواع آن عمل ارائه ى دليل براي اثبات درستى يك گزاره به كمك دانسته ها  قبلى را استدلال مي نامند.به طور كلى دو نوع استدلال وجود دارد.

الف: استدلال استقراي : روش نتيجه گيرى كل  بر مبناي تعداد محدودي مشاهده را استدلال استقراي مي نامند. 
ب : استدلال استنتاجي : روش نتيجه گيرى  لى بر مبناي حقايق يذيرفته شده را استدلال استنتاجي مي نامند. 

استدلال پژمان : در تمام جهارضلعى هاي از قبيل مربع ، مستطيل ، لوزى ، متوازى الاضلاع با توجـه بـه اينكه زاويه ها  مجاور مكمل يكديكرند، مجموع زاويه ها  داخلي  180  درجه است، لذا مجموع زاويه ها داخلي هر چهارضلعى محدب  360 درجه است.

استدلال پيمان : با توجه به اينكه مجموع زاويه هاى داخلى هـر مثلث 180 درجـه  است. لذا با رسم يك قطر در هر چهارضلعى محدب مي توان أن را به دو مثلـث تبديل كرد. لذا مجموع زاويه هاى داخل  چهارضلعى محدب برابر مجموع زاويه ها  داخلي اين دو مثلث مي باشـد، 
در نتيجه برابر  360 درجه است. با توجه به تعريف ارائه شده براي انواع استدلال ، واضع است كه استدلال پرمان استقراي و استدلال پيمان استنتاجي است

مفهوم تعريف : تعريف هر چيز شامل مجموعه ى مشخصاتي است كه برا  شناخته شدن آن بيان مي شوند. 
مثلاً مي توان عمود منصف يك باره خط را به صورت زير تعريف كرد: 
عمود منصف يك پاره خط ، خطى است كه هم از وسط پاره خط می گذرد و هم بر آن پاره خط عمود است .

تعريف هر چيز بايد صفات و خصوصيات آن را به آن اندازه كه برا  شناخته شدنش لازم و كافي است شامل باشد نه بيشتر و نه كمتر به عبارت بهتر تعريف خوب و درست آن است كه از توضيح اضافي بي نياز باشد و حذف هيج جزی  از آن ممكن نباشد يس تعريف بايد جامع و مانع باشد. مثلا اگر در بيان تعريف عمود منصف باره خط يكى ازدوشرط كذشتن از وسط پاره خط يا عمود بودن را حذف كنيم، در اين صورت خط رسم شده نمى تواند عمود منصف باشد. 

در شكل هاي فوق در مورد الف با اينكه خط d بر ياره خط AB عمود است ولى چون از وسط پاره خط نمى گذرد، عمود منصف محسوب نمى شود، همجنين در مورد ب با اينكه خط d از وسط پاره خط AB مي گذرد ولى  ون بر آن عمود نيست، عمود منصف محسوب نمى شود، ذا بيان اين دو شرط برا ى تعريف عمود منصف ياره خط كفايت مي كند و حذف يك قسمت از دو قسمت آن در تعريف ايجاد مشكل م  كند، همچنين اضافه كردن مورد ديگرى به آن ضرورت  ندارد. براي مثال ضرورتى ندارد كه به تعريف عمود منصف اين عبارت اضافه شود كه و هر نقطه روى آن از دو سر پاره خط به يك فاصله است.

توجه داشته باشيد كه بيان درست تعريف هر مفهوم، منجر به شناخت درست أن مفهوم و يكسان سازى درك اين مفهوم مي شود. براى مثال براى دايره تعريف زير ارائه مي شود. داره : مجموعهى نقاط از صفحه كه از يك نقطه ى ثابت به يك فاصله باشند را دايره مي نامند. اين نقطه ى ثابت را مركز و فاصله ى ثابت را شعاع مي نامند. 

مفهوم اصل : هر واقعيت كه بديهي بوده ونيازمند استدلال نباشد را اصل مي نامند. 

البته اصول مربوط به نامساوى ها هم گاهي مورد استفاده قرار مي گيرند، كه در اينجا آنها را دانسته فرض می كنيم. 
مثال نقض : نتايج بدست آمده از استدلال استقرايي قطعي نيستند و گاهي قابل رد هستند. براى رد يك نتيجه كلى كه از استدلال استقرايي بدست مي آيد، ارائه ي يك مثال نقض كافي است. مثال نقض ، مثالى است كه نشان مي دهد يك نتيجه گيرى كلى نادرست است. 

 مفهوم قضيه هر گزاره ى درست و كلى كه به كمك استدلال استنتاجى بدست مي آيد را قضيه مي نامند. 

هر قضيه را مي توان به صورت يك گزاره ى مركب (كه به صورت تركيب شرطي بيان مي شود) نوشت. بنابراين داراي دو قسمت مي باشد:

فرض ( شرط) : آن قسمت ازگزاره است كه آن را مي پذيريم. 

حکم (جواب شرط) : آن قسمت از  گزاره است كه بايد درستى آن را نتيجه بگيريم. 
بنابراين هر قضيه داراي الگويي به صورت زير است

قضيه ها در رياضى و هندسه بايد اثبات شوند، به عبارت  ديگر برا  درستى أنها بايد استدلال كرد. هر حركت مرحله به مرحله و منطقى كه به كمك استدلال استنتاجي، منجر به رسيدن به حكم قضيه شود را اثبات قضيه گویند

بديهي است كه تشخيص فرض و حكم هر قضيه براى اثبات آن قضيه مهم است، اولين كام در اثبات هر قضيه تعيين فرض و حكم آن است. آخرين مرحله در اثبات هر قضيه رسيدن به حكم آن است. 

قضيه ي عكس: اكر جاى فرض و حكم يك قضيه را جابجا كنيم، يك گزاري شرطى جديد بدست مى آيد كه آن را عكس قضيه مي ناميم. عكس قضيه، ممكن است درست و ممكن است نادرست باشد. 
درصورتي كه عكس يك قضيه درست باشد، آن را قضيه عكس مي نامند. 

در مثال زير عكس قضيه درست نيست. 

قضيه ى دو شرطي : اكر عكس يك قضيه ي شرطى خود يك قضيه ي شرطى باشد. به كمك يكي از الگو ها  زير مي توان آن دو قضيه را تركيب كرد و به صورت يك قضيه بيان نمود. اين قضيه را قضيه ى دو شرط  مى نامند.

اگر p آنگاه q و برعكس 
p اگر و تنها اگرq

p شرط لازم و كافي است براى q
مثال  قضيه: اگر مثلثى قائم الزاويه باشد، انگاه مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع ديگر آن برابر است. قضيه ي عكس: اگر در مثلثى مربع يك ضلع با مجموع مربعات دو ضلع ديگر برابر باشد، آنگاه آن مثلث قائم الزاويه است. قضيه ى دوشرطي: ار مثلثى قائم الزاويه باشد، آنكاه مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع دير آن برابر استوبرعكس 
مثلث قائم الزاويه است اگر و تنها اگر مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع ديگر آن برابر باشد. قائم الزاويه بودن مثلث شرط لازم وكافي است براى اينكه مربع وتر با مجموع مربعات دو ضلع ديگر برابر باشد

عكس نقيض يك قضيه:

اگر فرض وحكم قضيه ا  را جابجا و نقيض كنيم، كزارى حاصل همواره درست خواهد بود. اين گزاره را قضيه ى عكس نقيض مي نامند.

برهان خلف ( اثبات غير مستقيم) گاهي اوقات براى اثبات يك قضيه نشان مي دهيم كه خلاف حكم آن درست نيست و سپس نتيجه  گيريم با اين شرايط خود حكم درست است. اين روش استدلال كه نوعى استدلال استنتاجي است را برهان خلف  اثبات غير مستقيم مي نامند. روند كار در اين روش بدين ترتيب است كه ابتدا خلاف حكم را تشكيل مي دهيم و آن را فرض خلف مي ناميم، سپس استدلال خود را با تكيه بر اين فرض ادامه مي دهيم. در نهايت به خلاف فرض يا يك قضيه ى اثبات شدهى قبلى يا خلاف يك اصل (حقيقت) مي رسيم. در آخر فرض خلف را باطل مي كنيم و خود حكم رامي پذيريم مثال ١: ثابت كنيد كه، از يك نقطه ى غير واقع بر يك خط راست نمى توان بيش از يك خط بر آن عمود کرد.

اثبات به روش برهان خلف : فرض مي كنيم كه اين حكم نادرست است موازي  نقطه ى دلخواه ماند A واقع بر خارج خط d مي توان دو عمود بر آن رسم كرد. 
در اين صورت يك مثلث تشكيل مي شود كه دو زاويه ى قائمه دارد. لذا مجموع زاويه ها  داخلي اين مثلث بيش از ٨٠  درجه خواهد شد و اين غير ممكن است. پس فرض خلف نمى تواند درست باشد و حكم درست است.