تقسیم چند جمله ای ها و بخش پذیری

در سال های گذشته با تقسیم چند جمله ای ها بر یکدیگر آشنا شده اید میدانید که برای تقسیم چند جمله ای A(x)را بر چند جمله ای غیر صفر B(x) که درجه ی A(x) بزرگتر یا مساوی درجه ی B(x) باشد مراحل زیر به ترتیب را طی کنیم.

مرحله ی اول:

ابتدا چند جمله ای های مقسوم \((A(x))\)  و مقسوم عليه \((B(x))\) را استاندارد می کنیم.

مرحله ی دوم:

اولین جمله ی مقسوم را بر اولین جمله ی مقسوم علیه تقسیم میکنیم) جملاتی از مقسوم و مقسوم علیه که دارای بزرگترین توانها هستند( و حاصل را به عنوان اولین جمله ی خارج قسمت قرار می دهیم

مرحله ی سوم:

خارج قسمت بدست آمده را در چند جمله ای مقسوم علیه ضرب می کنیم. سپس عبارت بدست آمده را قرینه کرده و در زیر مقسوم یادداشت میکنیم حاصل جمع این عبارت یا مقسوم، اولین باقی مانده را نتیجه می دهد.

مرحله ی چهارم: مانند مرحله ی دوم این بار باقی مانده ی به دست آمده را بر عبارت مقسوم علیه تقسیم می کنیم.

اگر چند جمله ایA(x) را بر چند جمله ای غیر صفرB(x) تقسیم کنیم در این صورت همواره خواهیم داشت

\(( - {x^2} + 3x)(x + 2) + 1 = - {x^3} - 2{x^2} + 3{x^2} + 6x + 1) = - {x^3} + {x^2} + 6x + 1\)  

بخش پذیری در چند جمله ای ها

چند جمله ای A(x)را بر چند جمله ای (B(x بخش پذیر گویند، هرگاه باقی مانده ی تقسیم A(x)  بر B(x) صفر شود. در این صورت خواهیم داشت :

\(A\left( x \right) = Q(x) \times B(x)\)  

اگر چند جمله ای P(x) را بر x-aتقسیم کنیم، خواهیم داشت. ‏

\(P\left( x \right) = Q(x) \times (x\_a) + R(x)\)  

حال اگر قرار دهیم x=a

\( \to P\left( a \right) = Q(a) \times (a\_a) + R(a) \to P\left( a \right) = R(a)\)  

یعنی باقی مانده ی تقسیم p(x) بر x-aبرابر p(a)است.