جواب تمرین صفحه 43 درس 2 آمار و احتمال یازدهم ریاضی (احتمال)

۱ فضای نمونه برای این بازی چیست؟

اگر نتایج را به صورت زوج مرتب (انتخاب احمد، انتخاب عباس) در نظر بگیریم، فضای نمونه (S) شامل تمام حالت‌های ممکن در این بازی است:

S = { (سنگ, سنگ), (سنگ, کاغذ), (سنگ, قیچی), (کاغذ, سنگ), (کاغذ, کاغذ), (کاغذ, قیچی), (قیچی, سنگ), (قیچی, کاغذ), (قیچی, قیچی) }

2 فضای نمونه چند عضو دارد؟

از آنجا که احمد ۳ انتخاب (سنگ، کاغذ، قیچی) دارد و عباس نیز به طور مستقل ۳ انتخاب دارد، طبق اصل ضرب، تعداد کل اعضای فضای نمونه به دست می‌آید:

\(n(S) = 3 \times 3 = 9\)

پس فضای نمونه ۹ عضو دارد.

3 در چه تعداد از برآمدها احمد برندهٔ بازی است؟

برای اینکه احمد برنده شود، باید انتخاب او بر انتخاب عباس برتری داشته باشد. این حالت‌ها عبارتند از:

• احمد سنگ بیاورد و عباس قیچی: (سنگ، قیچی)

• احمد کاغذ بیاورد و عباس سنگ: (کاغذ، سنگ)

• احمد قیچی بیاورد و عباس کاغذ: (قیچی، کاغذ)

اگر پیشامد برنده شدن احمد را A بنامیم، این پیشامد به شکل زیر خواهد بود:

A = { (سنگ, قیچی), (کاغذ, سنگ), (قیچی, کاغذ) }

\(n(A) = 3\)

بنابراین، در ۳ برآمد از کل برآمدها، احمد برندهٔ بازی است.

۱ توصیف فضای نمونه

• قسمت مورد نظر: «اگر برای ما فقط ترتیب قدّ آنها اهمیت داشته باشد، فضای نمونه را توصیف کنید.»

• پاسخ: از آنجا که ۱۴ عضو با قدهای متمایز داریم و آن‌ها یکی پس از دیگری وارد سالن می‌شوند (یعنی ترتیب قرارگیری مهم است)، هر برآمد در فضای نمونه یک جایگشت (چیدمان) از قدهای این ۱۴ نفر خواهد بود. بنابراین، فضای نمونه شامل تمام حالت‌های ممکن برای چیده شدن ۱۴ عضو متفاوت در یک صف است که تعداد کل اعضای آن به شکل زیر محاسبه می‌شود:

  \(n(S) = 14!\)

2 محاسبه احتمال مورد نظر

• قسمت مورد نظر: «اگر اعضای تیم کاملاً تصادفی وارد سالن شده باشند، احتمال اینکه اوّلین کسی که وارد می‌شود، بلند قدترین عضو تیم باشد چقدر است؟»

• پاسخ: برای محاسبه این احتمال می‌توانیم از دو روش استفاده کنیم که هر دو به یک جواب می‌رسند:

  • روش اول (ریاضی و استفاده از جایگشت): اگر پیشامد A را «ورود بلندقدترین فرد در جایگاه اول» در نظر بگیریم، جایگاه نفر اول برای او ثابت می‌شود و ۱۳ نفر باقی‌مانده می‌توانند در ۱۳ جایگاه بعدی به هر ترتیبی وارد شوند. پس تعداد حالت‌های مطلوب برابر است با \(n(A) = 13!\).

    \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(S)}} = \frac{{13!}}{{14!}} = \frac{{13!}}{{14 \times 13!}} = \frac{1}{{14}}\)

  • روش دوم (استدلال منطقی و مستقیم): چون هر ۱۴ نفر کاملاً به صورت تصادفی وارد سالن می‌شوند، شانس هر یک از آن‌ها برای اینکه اولین نفرِ وارد شده به سالن باشند، کاملاً با هم برابر است. بنابراین احتمال اینکه یک شخصِ خاص (در اینجا بلندقدترین عضو) دقیقاً در جایگاه اول قرار بگیرد، برابر با یک انتخاب از میان چهارده انتخاب ممکن است:

    \(P(A) = \frac{1}{{14}}\)

۱ نوشتن فضای نمونه به شکل حاصل‌ضرب دکارتی

• قسمت مورد نظر: «برای وضعیت هوا در یک لحظه در یک ایستگاه هواشناسی فضای نمونه را به شکل حاصل‌ضرب دکارتی چند مجموعه بنویسید.

• پاسخ: ابتدا برای هر یک از ۵ ویژگی مطرح شده، یک مجموعه حالت‌ها تشکیل می‌دهیم:

  • مجموعه دما (T): {سرد, گرم}

  • مجموعه رطوبت (H): {خشک, مرطوب}

  • مجموعه باد (W): {می‌وزد, نمی‌وزد}

  • مجموعه وضعیت آسمان (S): {صاف, نیمه‌ابری, ابری}

  • مجموعه بارندگی در ۲۴ ساعت گذشته (P): {رخ داده, رخ نداده}

  فضای نمونه (\(\Omega \)) برابر است با حاصل‌ضرب دکارتی این پنج مجموعه:

  \(\Omega = T \times H \times W \times S \times P\)

2 تعداد اعضای فضای نمونه

• قسمت مورد نظر: «این فضا چند عضو دارد؟»

• پاسخ: برای یافتن تعداد کل حالت‌ها (اعضای فضای نمونه)، بر اساس اصل ضرب، باید تعداد اعضای هر یک از این مجموعه‌ها را در هم ضرب کنیم:

  • تعداد حالات دما: 2

  • تعداد حالات رطوبت: 2

  • تعداد حالات باد: 2

  • تعداد حالات وضعیت آسمان: 3

  • تعداد حالات بارندگی: 2

  بنابراین تعداد کل اعضای فضای نمونه به شکل زیر محاسبه می‌شود:

  \(n(\Omega ) = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 2 = 48\)

  در نتیجه، این فضا دارای ۴۸ عضو است.

الف

• قسمت مورد نظر: اثبات گزاره «اگر $B \subseteq A$ داریم: $P(A-B)=P(A)-P(B)$»

• پاسخ:

  با توجه به اینکه B زیرمجموعهٔ A است (\(B \subseteq A\))، می‌توانیم مجموعهٔ A را به صورت اجتماع دو مجموعهٔ B و \(A - B\) بنویسیم. در واقع پیشامد A زمانی رخ می‌دهد که یا پیشامد B رخ دهد و یا پیشامدی که در A هست ولی در B نیست (یعنی \(A - B\)). پس داریم:

  \(A = B \cup (A - B)\)

  از طرفی، روشن است که مجموعه‌های B و \(A - B\) هیچ عضو مشترکی ندارند و اشتراک آن‌ها تهی است (این دو، پیشامدهایی ناسازگار هستند):

  \(B \cap (A - B) = \emptyset \)

  طبق اصل سوم احتمال (اصل جمع احتمالات برای پیشامدهای ناسازگار)، احتمالِ اجتماعِ این دو پیشامد برابر با مجموعِ احتمال‌های آن‌هاست. بنابراین می‌توان نوشت:

  \(P(A) = P(B \cup (A - B)) = P(B) + P(A - B)\)

  اکنون کافی است \(P(B)\) را به طرف دیگر تساوی منتقل کنیم تا حکم مسئله ثابت شود:

  \(P(A - B) = P(A) - P(B)\)

ب

• قسمت مورد نظر: اثبات گزاره «اگر \(B \subseteq A\)، آن‌گاه \(P(B) \le P(A)\)»

• پاسخ:

  از معادله‌ای که در قسمت (الف) اثبات کردیم، می‌دانیم:

  \(P(A) = P(B) + P(A - B)\)

  بر اساس اصل اول احتمال، احتمالِ رخ دادنِ هر پیشامدی همواره عددی نامنفی (بزرگ‌تر یا مساوی صفر) است. بنابراین برای پیشامد \(A - B\) نیز این اصل برقرار است:

  \(P(A - B) \ge 0\)

  در معادلهٔ اول دیدیم که P(A) از جمعِ P(B) با مقدارِ نامنفیِ P(A - B) به دست می‌آید. وقتی به یک مقدار، عددی صفر یا مثبت اضافه شود، حاصلِ جمع بزرگ‌تر یا مساویِ آن مقدارِ اولیه خواهد شد. در نتیجه:

  \(P(A) \ge P(B)\)

  که همان حکم مورد نظر است:

  \(P(B) \le P(A)\)

ابتدا برای حل تمامی قسمت‌ها، فضای نمونه و پیشامدهای پایه را تعریف کرده و تعداد اعضای آن‌ها را محاسبه می‌کنیم:

• فضای نمونه S (انتخاب عددی از ۱ تا ۱۰۰):

  \(n(S) = 100\)

• پیشامد A (بخش‌پذیری بر ۲): تعداد اعداد زوج از ۱ تا ۱۰۰ برابر است با \(100 \div 2 = 50\)، پس:

  \(n(A) = 50\)

• پیشامد B (بخش‌پذیری بر ۳): تعداد مضارب ۳ از ۱ تا ۱۰۰ (با استفاده از جزء صحیح) برابر است با \(\left[ {\frac{{100}}{3}} \right] = 33\)، پس:

  \(n(B) = 33\)

• پیشامد \(A \cap B\) (بخش‌پذیری بر هر دو عدد ۲ و ۳، که معادل بخش‌پذیری بر ک.م.م آن‌ها یعنی ۶ است): تعداد مضارب ۶ از ۱ تا ۱۰۰ برابر است با \(\left[ {\frac{{100}}{6}} \right] = 16\)، پس:

  \(n(A \cap B) = 16\)

اکنون به سراغ محاسبه احتمال‌ها می‌رویم:

الف

• قسمت مورد نظر: «اعدد انتخابی بر ۲ یا ۳ بخش‌پذیر باشد.»

• پاسخ: حرف «یا» در احتمال نشان‌دهندهٔ اجتماع دو پیشامد است. بنابراین باید \(P(A \cup B)\) را محاسبه کنیم:

  \(\begin{array}{l}P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\\\\P(A \cup B) = \frac{{50}}{{100}} + \frac{{33}}{{100}} - \frac{{16}}{{100}} = \frac{{67}}{{100}} = 0/67\end{array}\)

ب

• قسمت مورد نظر: «عدد انتخابی بر ۲ بخش‌پذیر باشد، ولی به ۳ بخش‌پذیر نباشد.»

• پاسخ: این عبارت به معنای رخ دادن پیشامد A و رخ ندادن پیشامد B است، یعنی باید احتمال تفاضل \(P(A - B)\) را محاسبه کنیم:

  \(\begin{array}{l}P(A - B) = P(A) - P(A \cap B)\\\\P(A - B) = \frac{{50}}{{100}} - \frac{{16}}{{100}} = \frac{{34}}{{100}} = 0/34\end{array}\)

پ

• قسمت مورد نظر: «عدد انتخابی نه بر ۲ بخش‌پذیر باشد و نه بر ۳.»

• پاسخ: این حالت دقیقاً متممِ قسمت (الف) است. یعنی می‌خواهیم هیچ‌کدام از آن دو پیشامد رخ ندهند. پس باید \(P((A \cup B)')\) را محاسبه کنیم:

  \(\begin{array}{l}P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)\\\\P((A \cup B)') = 1 - \frac{{67}}{{100}} = \frac{{33}}{{100}} = 0/33\end{array}\)