جواب تمرین صفحه 61 درس 2 آمار و احتمال یازدهم ریاضی (احتمال)

روش اول: با توجه به این که حداقل یکی از فرزندان پسر است فضای نمونه‌ای به صورت زیر می‌باشد: (پسر: b و دختر: g)

\(\begin{array}{l}S = \{ bggg,gbgg,ggbg,gggb,bbgg,bgbg,bggb,gbbg,gbgb,ggbb,bbbg,bbgb,bgbb,gbbb,bbbb\} \\\\A = \{ bbgg,bgbg,bggb,gbbg,gbgb,ggbb\} \\\\ \Rightarrow P(A) = \frac{6}{{15}} = 0/4\end{array}\)

روش دوم: پیشامد حداقل یک پسر را با A نمایش داده و \(P(A) = \frac{6}{{15}}\) است. همچنین پیشامد دقیقا دو پسر را با B نمایش داده و \(P(B) = \frac{{15}}{{15}} = 1\) است. از طرفی واضح است که \(B \subseteq A\) و در نتیجه \(A \cap B = B\). بنابراین:

\($$P(B\vert{}A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{P(B)}{P(A)} = \frac{\frac{6}{16}}{\frac{15}{16}} = \frac{6}{15} = 0/4$$\)

الف از بین ۸۷۰ هزار خودروی مراجعه‌کننده، ۲۵۸ هزار تای آن‌ها مردود شده‌اند، پس احتمال مردودی \(\frac{{258}}{{870}} = \frac{{43}}{{145}}\) است.

ب تعداد ۷۹ هزار خودرو مراجعه داشته که ۲۶ هزار تای آن‌ها مردود است پس احتمال مردودی در این مرکز \(\frac{{26}}{{79}}\) است.

پ تعداد کل مردودی‌ها ۲۵۸ هزار بوده که ۲۶ هزار تای آن‌ها مربوط به مرکز شماره ۵ است، پس احتمال آن \(\frac{{26}}{{258}} = \frac{{13}}{{129}}\) است.

روش دوم: پیشامد مردود شدن را با M و پیشامد مراجعه به مرکز شماره ۵ را با N نمایش می‌دهیم در نتیجه:

\($$P(N\vert{}M) = \frac{P(N \cap M)}{P(M)} = \frac{\frac{26}{870}}{\frac{258}{870}} = \frac{26}{258} = \frac{13}{129}$$\)

نوع پرسش احتمال خواسته شده ابهام دارد: احتمال اینکه در دو روز بعد ساحل طوفانی باشد چقدر است؟

آیا منظور هر دو روز آینده است یا فقط دومین روز در آینده می‌باشد؟

با فرض اینکه منظور، فقط دومین روز در آینده (یعنی فقط پس‌فردا) است، مسئله را حل می‌کنیم:

\(P = (0/9 \times 0/1) + (0/1 \times 0/5) = 0/14\)

راست \( = P({A_1}) \times \frac{{P({A_2} \cap {A_1})}}{{P({A_1})}} \times \frac{{P({A_3} \cap [{A_1} \cap {A_2}])}}{{P({A_1} \cap {A_2})}} = P({A_3} \cap [{A_1} \cap {A_2}]) = \)

\(P({A_3} \cap {A_1} \cap {A_2}) = \) چپ

\(\begin{array}{l}P({A_1} \cap {A_2} \cap {A_3} \cap \ldots \cap {A_n}) = P({A_1}) \times P({A_2}|{A_1}) \times P({A_3}|{A_1} \cap {A_2}) \times \\\\P({A_4}|{A_1} \cap {A_2} \cap {A_3}) \times \ldots \times P({A_n}|{A_1} \cap {A_2} \cap \ldots \cap {A_{n - 1}})\end{array}\)

با توجه به خاصیت جا به جایی در اشتراک، می‌توان \(P({A_1} \cap {A_2} \cap \ldots \cap {A_n})\) را به صورت \(P({A_2} \cap {A_1} \cap \ldots \cap {A_n})\) و حالت‌های دیگر نوشت و آن را محاسبه نمود. تعداد حالات آن همان تعداد حالات جا به جایی \({A_i}\)ها می‌باشد که به \(n!\) حالت می‌توان نوشت.

\(P = 0/55 \times 0/2 \times 0/45 \times 0/7 = 0/425\)

پیشامد اینکه مهره برداشته شده از ظرف اول سبز باشد را با \({G_1}\) و قرمز بودن آن را با \({R_1}\)، همچنین برای مهره برداشته شده از ظرف دوم، پیشامد سبز بودن را با \({G_2}\) و قرمز بودن را با \({R_2}\) نمایش می‌دهیم. بنابراین:

\(P = \frac{4}{7} \times \frac{4}{9} + \frac{3}{7} \times \frac{3}{9} = \frac{{25}}{{63}}\)

\(P = 0/6 \times 0/05 + 0/4 \times 0/01 = 0/034\)

پیشامد این که لامپ انتخابی از جعبه اول باشد \({G_1}\) و پیشامد این که از جعبه دوم باشد را با \({G_2}\) نمایش می‌دهیم. همچنین پیشامد معیوب بودن لامپ انتخابی در جعبه اول را با \({M_1}\) و در جعبه دوم با \({M_2}\) نمایش می‌دهیم.

\(\begin{array}{l}P({G_1}) = \frac{5}{{10}}\quad ,\quad P({G_2}) = \frac{5}{{12}}\quad ,\quad P({M_1}) = \frac{4}{{10}}\quad ,\quad P({M_2}) = \frac{3}{{12}}\\\\ \Rightarrow P = \frac{5}{{10}} \times \frac{4}{{10}} + \frac{5}{{12}} \times \frac{3}{{12}} = \frac{{73}}{{240}}\end{array}\)

احتمال واجد شرایط بودن در شهر A را با P(A) و واجد شرایط بودن در شهر B را با P(B) نمایش می‌دهیم.

طبق فرض سوال P(A) = 3P(B) در نتیجه \(P(A) = \frac{3}{4}\) و \(P(B) = \frac{1}{4}\) خواهد بود.

بنابراین با توجه به قانون بیز می‌توان نوشت:

\(P = \frac{{\frac{3}{4} \times 0/5}}{{\frac{3}{4} \times 0/5 + \frac{1}{4} \times 0/8}} = \frac{{15}}{{26}}\)

ابتدا متناسب با مسئله نمودار رو به رو را رسم می‌کنیم، سپس طبق قانون احتمال کل عمل می‌کنیم:

\( \Rightarrow P = 0/9 \times 0/003 + 0/1 \times 0/1 = 0/118\)

چپ \( = \frac{{P({B_i}) \times \frac{{P(A \cap {B_i})}}{{P({B_i})}}}}{{P(A)}} = P({B_i}|A) = \) راست

دو پیشامد A وB را به شکل زیر تعریف می‌کنیم:

A : امیر بلندقدترین عضو تیم است. \(P(A) = \frac{1}{{10}} \Rightarrow \)

B : امیر از بابک بلندقدتر است. \(P(B) = \frac{1}{2} \Rightarrow \)

احتمال این که امیر بلندقدترین باشد با فرض این که امیر از بابک بلندقدتر است:

\(P(A|B) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}} = \frac{{P(A)}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{\frac{1}{{10}}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{5}\)

همچنین پیشامد C را تعریف می‌کنیم: امیر از نظر بلندی قد نفر نهم باشد، یعنی بابک کوتاه قدترین باشد. \(P(C) = \frac{1}{{10}} \Rightarrow \)

احتمال این که امیر از نظر بلندی قد نفر نهم باشد با فرض این که امیر از بابک بلندتر است.

پیشامد آن که علی به ورزشگاه برود را A و پیشامد آن که مازیار به ورزشگاه برود را M می‌نامیم. بنابراین:

\(\begin{array}{l}P(A) = 0/4\quad ,\quad P(M) = 0/3\quad ,\quad P(M|A) = 0/8\quad ,\quad P(M'|A') = ?\\\\P(M \cap A) = P(A) \times P(M|A) = 0/4 \times 0/8 = 0/32\\\\P(M \cup A) = P(M) + P(A) - P(M \cap A) = 0/3 + 0/4 - 0/32 = 0/38\\\\P(M'|A') = \frac{{P(M' \cap A')}}{{P(A')}} = \frac{{1 - P(M \cup A)}}{{1 - P(A)}} = \frac{{1 - 0/38}}{{1 - 0/4}} = \frac{{31}}{{30}}\end{array}\)

ابتدا نمودار روبرو را رسم می‌کنیم. سپس طبق قانون بیز می‌نویسیم.

\(P = \frac{{0/2 \times 0/1}}{{0/2 \times 0/1 + 0/3 \times 0/05 + 0/5 \times 0/01}} = 0/5\)

ابتدا نمودار روبرو را رسم می‌کنیم. سپس طبق قانون بیز می‌نویسیم.

\(P = \frac{{\frac{1}{4} \times \frac{3}{8}}}{{\frac{1}{4} \times 0 + \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \times \frac{3}{8} + \frac{1}{4} \times \frac{3}{8}}} = \frac{3}{8}\)

ابتدا نمودار روبرو را رسم می‌کنیم.

الف

\(P = 0/3 \times 0/4 + 0/7 \times 0/2 = 0/26\)

ب طبق قانون بیز

\(P = \frac{{0/4 \times 0/3}}{{0/26}} = \frac{6}{{13}}\)