جواب فعّالیت صفحه 44 درس 2 آمار و احتمال یازدهم ریاضی (احتمال)

این تاس در مجموع ۶ وجه دارد (۳ وجه با شماره ۱، ۲ وجه با شماره ۲، و ۱ وجه با شماره ۳).

۱ فضای نمونه‌ای:

• پاسخ: فضای نمونه‌ای شامل تمام پیشامدهای ساده (نتایج متمایز ممکن) است. بنابراین:

  \(S = \{ 1,2,3\} \)

۲ احتمال پیشامد A و بررسی فرمول:

• پاسخ جای خالی: چون عدد ۱ روی ۳ وجه از ۶ وجه تاس قرار دارد:

  \(A = \{ 1\} \Rightarrow P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

• پاسخ به سؤال (آیا می‌توانید از رابطه... استفاده کنید؟): خیر. رابطهٔ \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(S)}}\)  تنها زمانی قابل استفاده است که تمام اعضای فضای نمونه‌ای S هم‌شانس باشند. در این آزمایش، شانس آمدن اعداد ۱، ۲ و ۳ برابر نیست. اگر از این رابطه استفاده می‌کردیم، جواب \(\frac{1}{3}\) می‌شد که کاملاً اشتباه است.

۳ احتمال وقوع پیشامدهای B و C:

• پاسخ جای خالی: عدد ۲ روی ۲ وجه و عدد ۳ روی ۱ وجه قرار دارد، بنابراین نسبت آن‌ها را به کل ۶ وجه حساب می‌کنیم:

  \(\begin{array}{l}P(\{ 2\} ) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\\\\P(\{ 3\} ) = \frac{1}{6}\end{array}\)

۴ مقایسه احتمال وقوع پیشامدهای ساده:

• پاسخ: خیر، برابر نیستند. زیرا تعداد وجوهی که به هر عدد اختصاص داده شده متفاوت است (عدد ۱ سه وجه، عدد ۲ دو وجه و عدد ۳ تنها یک وجه دارد). در نتیجه شانس یا احتمال رخ دادن آن‌ها با هم تفاوت دارد.

۵ مجموع احتمال‌های پیشامدهای ساده:

• پاسخ جای خالی:

  \(P(\{ 1\} ) + P(\{ 2\} ) + P(\{ 3\} ) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1\)

  (مجموع احتمالات تمام پیشامدهای سادهٔ یک فضای نمونه همواره برابر با ۱ است).

۶ محاسبه P(D) و مقایسه:

• پاسخ: پیشامد D یعنی آمدن عدد ۱ یا ۲. تعداد کل وجوهی که روی آن‌ها ۱ یا ۲ نوشته شده برابر است با ۵ وجه \(\left( {3{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}5} \right)\). بنابراین:

  \(P(D) = \frac{5}{6}\)

• مقایسه: مجموع احتمال‌های آمدن ۱ و آمدن ۲ نیز برابر است با:

  \(P(\{ 1\} ) + P(\{ 2\} ) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}\)

  همان‌طور که مشاهده می‌شود، این دو مقدار با یکدیگر برابر هستند (\(P(D) = P(\{ 1\} ) + P(\{ 2\} )\)). این موضوع نشان‌دهنده اصل جمع احتمالات برای پیشامدهای ناسازگار است.