جواب تمرین صفحه 16 درس 1 هندسه یازدهم (دایره)

الف

ثابت می شود که کمان های محصور بین یک مماس و وتر موازی در یک دایره با هم برابرند. در شکل مقابل بنا بر قضیه خطوط موازی \(\widehat {MAC} = \widehat {BCA} \) :

\(\widehat {MAC} = \frac{1}{2}\widehat {AC}\) زاویه ظلّی

\(\widehat {ACD} = \frac{1}{2}\widehat {AD}\) زاویه محاطی

\(\widehat {MAC} = \widehat {ACD} \Rightarrow \frac{1}{2}\widehat {AC} = \frac{1}{2}\widehat {AD} \Rightarrow \widehat {AC} = \widehat {AD}\)

ب

\(\begin{array}{l}\widehat {AMB} = \widehat {EBF} = \frac{{\widehat {EB}}}{2} = \frac{{\widehat {ACB} - \widehat {AF}}}{2}\\\widehat {AE} = \widehat {ADB} \Rightarrow \widehat {AMB} = \widehat {EBF} = \frac{{\widehat {ACB} - \widehat {ADB}}}{2}\end{array}\)

پ

بنا بر قضیه خطوط موازی داریم \(\widehat {CMB} = \widehat {EBF}\):

\(\begin{array}{l}\widehat {CMB} = \widehat {EBF} = \frac{{\widehat {EB}}}{2} = \frac{{\widehat {BC} - \widehat {CE}}}{2}\\\widehat {CE} = \widehat {AB} \Rightarrow \widehat {CMB} = \widehat {EBF} = \frac{{\widehat {BC} - \widehat {AB}}}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\widehat M = \frac{{y - x}}{2} \Rightarrow 2 \times {31^ \circ } = y - x\\\widehat N = \frac{{y + x}}{2} \Rightarrow 2 \times {91^ \circ } = y + x\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - x = {62^ \circ }\\y + x = {182^ \circ }\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {60^ \circ }\\y = {122^ \circ }\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{70^ \circ } = \frac{{\left( {y + z + t} \right) - x}}{2} \Rightarrow {140^ \circ } = \left( {y + z + t} \right) - x\\{80^ \circ } = \frac{{\left( {y + x + t} \right) - z}}{2} \Rightarrow {160^ \circ } = \left( {y + x + t} \right) - z\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{140^ \circ } = \left( {y + z + t} \right) - x\\{160^ \circ } = \left( {y + x + t} \right) - z\end{array} \right.\quad \mathop \Rightarrow \limits^ + \quad \\{300^ \circ } = 2\left( {y + t} \right) \Rightarrow y + t = {150^ \circ }\\\\\widehat A = \frac{{y + t}}{2} \Rightarrow \widehat A = {75^ \circ }\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{75^ \circ } = \frac{{\left( {x + x} \right) + x}}{2} \Rightarrow x = {50^ \circ }\\\widehat {CD} = {180^ \circ } - 2x \Rightarrow \widehat {CD} = {180^ \circ } - {100^ \circ } = {80^ \circ }\end{array}\)

\(\begin{array}{l}AC\parallel DB \Rightarrow \widehat {AD} = \widehat {BC}\\\widehat {ACB} = \widehat {ADB} = {180^ \circ }\\\widehat {ACB} - \widehat {BC} = \widehat {ADB} - \widehat {AD} \Rightarrow \widehat {AC} = \widehat {BD} \Rightarrow AC = BD\end{array}\)

با توجه به فرض مسئله، مثلث های OAM و OAB متساوی الساقین هستند. در مثلث OBM داریم:

\(\beta = 2\alpha + \alpha = 3\alpha\)

می دانیم که مثلث OAB متساوی الاضلاع است؛ زیرا زاویه مرکزی آن 60 درجه می باشد. در نتیجه زاویه پای ساق های آن نیز 60 درجه می شود. برای پیدا کردن فاصله متر از مرکز باید از نقطه O بر وتر عمود کنیم، سپس طول پاره خط OH را به دست آوریم. قطر عمود بر وتر، وتر را نصف می کند، بنابراین 5 = AH . پس در مثلث قائم الزاویه OAH  داریم:

\(\begin{array}{l}OH = \sqrt {O{A^2} - A{H^2}} \\ \Rightarrow OH = \sqrt {{{10}^2} - {5^2}} = \sqrt {75} = 5\sqrt 3 \end{array}\)

فرض: \(AB > CD \) حکم: \(OH < OH'\)

\(\begin{array}{l}OB = OC = R\quad ,\quad BH = \frac{{AB}}{2}\quad ,\quad CH = \frac{{CD}}{2}\quad \left( 1 \right)\\O\mathop B\limits^\Delta H:\quad H = {90^ \circ } \Rightarrow B{H^2} = {R^2} - O{H^2}\\O\mathop C\limits^\Delta H':\;\;\,H' = {90^ \circ } \Rightarrow C{{H'}^2} = {R^2} - O{{H'}^2}\\AB > CD \Rightarrow \frac{{AB}}{2} > \frac{{CD}}{2}\;\;,\;\;\left( 1 \right) \Rightarrow BH > CH'\\ \Rightarrow B{H^2} > C{{H'}^2}\\ \Rightarrow {R^2} - O{H^2} > {R^2} - O{{H'}^2} \Rightarrow - O{H^2} > - O{{H'}^2}\\ \Rightarrow O{H^2} < O{{H'}^2} \Rightarrow OH < OH'\end{array}\)

فرض: \(OH < OH' \) حکم: \(AB > CD\)  

\(\begin{array}{l}OB = OC = R\;\;,\;\;2BH = AB\;\;,\;\;2CH = CD\;\;\left( 1 \right)\\O\mathop B\limits^\Delta H:\;\;H = {90^ \circ } \Rightarrow B{H^2} = {R^2} - O{H^2}\\O\mathop C\limits^\Delta H':\;H' = {90^ \circ } \Rightarrow C{{H'}^2} = {R^2} - O{{H'}^2}\\OH < OH' \Rightarrow O{H^2} < O{{H'}^2}\\ \Rightarrow {R^2} - B{H^2} < {R^2} - C{{H'}^2}\\ \Rightarrow - B{H^2} < - C{{H'}^2} \Rightarrow B{H^2} > C{{H'}^2}\\ \Rightarrow BH > CH'\;\;,\;\;(1)\; \to AB > CD\end{array}\)