جواب فعّالیت صفحه 21 درس 1 هندسه یازدهم (دایره)

الف

شعاع های OT و OT’ بر خط m عمودند و چون خط O’H موازی خط m می باشند، بنابر قضیه خطوط موازی :

\(\widehat {HTT'} = \widehat {HT'T} = \widehat {HO'T'} = \widehat {O'HT} = {90^ \circ }\)

بنابراین چهار ضلعی TT’O’H مستطیل می باشد.

ب

\(\begin{array}{l}\widehat H = {90^ \circ } \Rightarrow O'{H^2} + O{H^2} = O{{O'}^2} \Rightarrow O'{H^2} = O{{O'}^2} - O{H^2}\\\\ \Rightarrow O'H = \sqrt {{d^2} - {{\left( {OT - OT'} \right)}^2}} \\\\\mathop \Rightarrow \limits_{\scriptstyle OT = R\atop\scriptstyle OT' = R'}^{O'H = TT'} \;\;TT' = \sqrt {{d^2} - {{\left( {R - R'} \right)}^2}} \end{array}\)

پ

فرض کنیم این دو مماس مشترک در نقطه M یکدیگر را قطع کنند. با توجه به کار در کلاس قبل، OM و O’M نیم ساز زاویه M هستند و بر هم نیز منطبق اند، در نتیجه نقطه تقاطع مماس ها  روی خط OO’ قرار دارد.

ت

پاره خط O’H ، خط مماس بر این دایره می باشد.

ث

از نقطه O به H وصل می کنیم و امتداد می دهیم تا دایره (C) را در نقطه T قطع کند. سپس از این نقطه خطی موازی O’H رسم می کنیم. این خط در نقطه T’ بر دایره (C’) مماس می شود.

با توجه به شکل چهار ضلعی THO’T’ مستطیل است. پس TT’=OH . همچنین TH=O’T’=R’ . و در نتیجه : OH= R+R’ .

\(\begin{array}{l}O'\mathop O\limits^\Delta H:\quad \widehat H = {90^ \circ } \Rightarrow O'{H^2} = O{{O'}^2} - O{H^2}\\\\\mathop \Rightarrow \limits_{\scriptstyle OH = R + R'\atop\scriptstyle OO' = d}^{TT' = O'H} \;\;\;TT' = \sqrt {{d^2} - {{\left( {R + R'} \right)}^2}} \end{array}\)

\(\begin{array}{l}TT' = \sqrt {{d^2} - {{\left( {R - R'} \right)}^2}} \\\\\mathop \Rightarrow \limits^{d = R + R'} \;\;TT' = \sqrt {{{\left( {R + R'} \right)}^2} - {{\left( {R - R'} \right)}^2}} = \sqrt {4RR'} = 2\sqrt {RR'} \\\\ \Rightarrow TT' = \sqrt {{R^2} + {{R'}^2} + 2RR' - \left( {{R^2} + {{R'}^2} - 2RR'} \right)} \end{array}\)

با توجه به نامساوی مثلث در مثلث AOO’ داریم:

\(OO' < R + R'\quad \left( 1 \right)\)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}R' < OO' + R \Rightarrow - OO' < R - R'\\R < OO' + R' \Rightarrow R - R' < OO'\end{array} \right\}\\\\ \Rightarrow - OO' < R - R' < OO'\\\\ \Rightarrow \left| {R - R'} \right| < OO'\quad \left( 2 \right)\\\\\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right),\left( 2 \right)} \;\;\left| {R - R'} \right| < OO' < R + R'\end{array}\)

\(OA=OB=R\) و \(O’A=O’B=R’ \). بنابر خاصیت عمودمنصف نقاط O و O’ روی عمود منصف  AB قرار دارد و چون عمود منصف هر پاره خط یکتا است، در نتیجه پاره خط OO’ عمود منصف وتر مشترک AB است.