اعمال جبري روي توابع

 اگر تابع مربوط به اختلاف نمرات مرحله دوم از مرحله اول را بنويسيم اين تابع تنها براي دروسي با معني است كه در هر دو آزمون مورد سنجش واقع شده اند، يعني

 (6-,ادبيات ) (0 , فيزيك ) ,( 4 , حسابان)=G-f

و با مشاهده اين تابع مشخص است كه وي در درس حسابان پيشرفت، در فيزيك بدون تغيير و در ادبيات دچار افت شده است.

دامنه تابع f ، مجموعه ℜ و دامنه تابع g مجموعه \(\left\{ { - 1,0,4, - 2/5} \right.,\left. 3 \right\}\) است . لذا دامنه توابع  \(f.g,g - f,f - g,f + g\) مجموعه حاصل از اشتراك اين دو مجموعه يعني مجموعه \(\left\{ { - 1,0,4, - 2/5} \right.,\left. 3 \right\}\) است همچنین \(f(0) = 5,f(4) = 13,f( - 2/5) = 0,f(3) = 11\)  و بنابراين:

\(\begin{array}{l}f + g = ( - 1,6)\left( {0,0} \right)\left( {4,13} \right)\left( { - 2/5,1} \right)\left( {3,13} \right)\\\\f + g = ( - 1,0)\left( {0,10} \right)\left( {4,13} \right)\left( { - 2/5, - 1} \right)\left( {3,9} \right)\\\\f + g = ( - 1,0)\left( {0, - 10} \right)\left( {4, - 13} \right)\left( { - 2/5, - 1} \right)\left( {3, - 9} \right)\\\\f.g = ( - 1,0)\left( {0, - 25} \right)\left( {4,0} \right)\left( { - 2/5,0} \right)\left( {3,22} \right)\end{array}\)

همچنين دامنه تابع \(\frac{f}{g}\) مجموعه \(\left\{ { - 1,0,4, - 2/5,\left. 3 \right\}} \right.\) به جز اعضايي كه خروجي g به ازاي آنها صفر است؛ يعني عضو ،4 چون \(g(4) = 0\) لذا دامنه آن، مجموعه  \(\left\{ { - 1,0, - 2/5,\left. 3 \right\}} \right.\)ميباشد. بنابراين:

\(\frac{f}{g} = \left\{ {( - 1,1)(0, - 1),( - 2/5,\left. {0)(3,\frac{{11}}{2})} \right\}} \right.\)

دامنه تابع \(\frac{g}{f}\) مجموعه \(\left\{ { - 1,0, - 2/5,\left. 3 \right\}} \right.\)  به جز اعضايي كه خروجي f به ازاي آنها صفر است؛ يعني عضو \( - \frac{5}{2}\) ، چون \(f( - \frac{5}{2}) = 0\)  لذا دامنه آن مجموعه \(\left\{ { - 1,0,4,\left. 3 \right\}} \right.\) بنابراين:

 \(\frac{g}{f} = \left\{ ( \right. - 1,1)(0, - 1),( - 2/5,\left. {0)(3,\frac{{11}}{2})} \right\}\)

 دامنه تابع f مجموعه \({d_f} = ( - \infty , - \left. 2 \right] \cup \left[ {2, + \infty )} \right.\) است و دامنه تابع g مجموعه  \(dg = ( - \infty , - \left. 2 \right] \cup \left[ {0,2)} \right.\) است . بنابراين:

 \(\begin{array}{l}(f + g)(x) = f(x) + g(x) = \sqrt {{x^2} - 4} + \sqrt {\frac{{{x^2} + 2x}}{{2 - x}},} {D_{f + g}} = ( - \infty ,2)\\\\(f - g)(x) = f(x) - g(x) = \sqrt {{x^2} - 4} + \sqrt {\frac{{{x^2} + 2x}}{{2 - x}},} {D_{f - g}} = ( - \infty ,2)\\\\(f.g)(x) = f(x).g(x) = \sqrt {{x^2} - 4} .\sqrt {\frac{{{x^2} + 2x}}{{2 - x}},} {D_{f.g}} = ( - \infty ,2)\end{array}\)

اين تابع با تابع \(h(x) = \left| {x + 2} \right|\sqrt { - x} \)  كه به دامنه [2 − , ∞ −) تحديد (محدود) شده باشد برابر است ( . واضح است بدون تحديد دو تابع برابر نيستند ).

 تابع g به ازاي \(x = 0\) و \(x = - 2\) صفر خواهد شد لذا تابع \(\frac{f}{g}\) عبارتست از :

\(\left( {\frac{f}{g}} \right)(x) = \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \frac{{\sqrt {{x^2} - 4} }}{{\frac{{\sqrt {{x^2} + 2x} }}{{2 - x}}}},{D_{\frac{f}{g}}} = ( - \infty , - 2)\)

اين تابع با تابع \(h(x) = \frac{{\left| {x - 2} \right|}}{{\sqrt { - x} }}\)  وقتي كه دامنه آن به مجموعه \(( - \infty , - 2)\)  تحديد شده باشد برابر است.

 همچنين تابع g به ازاي  \(x = 2\) و \(x = - 2\) صفر خواهد شد لذا

\(\left( {\frac{g}{f}} \right)(x) = \frac{{g(x)}}{{f(x)}} = \frac{{\frac{{\sqrt {{x^2} + 2x} }}{{2 - x}}}}{{\sqrt {x - 4} }},{D_{\frac{g}{f}}} = ( - \infty , - 2)\)

و اين تابع با تابع \(m(x) = \frac{{\sqrt { - x} }}{{\left| {x - 2} \right|}}\) ، وقتي دامنه آن به مجموعه \(( - \infty , - 2)\)  تحديد شده باشد برابر x است.

 با توجه به شكل تابع f در فاصله [ 11 , 1−] تعريف شده است و تابع g در \(\left[ {0,\infty } \right]\)  . لذا توابع \(f + g\) و \(f - g\)  و \(f.g\) در فاصله [ 10 ,0 ] تعريف شده اند.

 براي رسم \(f + g\) كافي است \((f + g)(x)\) را به ازاي هر مقدار \(0 \le x \le 1\) را محاسبه كنيم يعني مقادير f و g را در هر يك محاسبه نمود و با هم جمع كرد . مثلا:

\(\begin{array}{l}(f + g)(0) = f(0) + g(0) = 1 + 0 = 1\\\\(f + g)(1) = f(1) + g(1) = 0 + 2 = 2\\\\(f + g)(\frac{1}{2}) = f(\frac{1}{2}) + g(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}\end{array}\)

لذا شكل \(g + f\) به طور تقريبي چنين خواهد بود.

به طور مشابه مقادير \(f - g\) را به ازاي هر \(0 \le x \le 1\)  از تفاضل مقدار تابع g از f وf.g را به ازاي هر \(0 \le x \le 1\) از ضرب مقادير توابع f و g به دست ميآوريم . نمودارهاي تقريبي به صورت زير است: