رسم نمودار توابع وابسته به f با استفاده از نمودار تابع f

(1)نمودار تابع \(g(x) = f(x) + a\) همان نمودار تابع  \(f(x)\) است كه a واحد در امتداد محور y ها منتقل شده است ( اگر \(a > 0\) انتقال در جهت مثبت محور y و اگر \(a < 0\)  انتقال در جهت منفي ميباشد (

توجه كنيد اگر,\(({x_0},{y_0}) \in f\)  يعني \({y_0} = f({x_0})\) آن گاه \(g({x_0}) + a = {y_0} + a\) یا \(({x_0},{y_0} + a) \in g\) یعنی  نقطه به اندازه a واحد به موازات محور y ها منتقل شده است.

(2) نمودار تابع \(h(x) = f(x + a)\)  همان نمودار تابع f است كه a واحد در امتداد محور x ها منتقل شده است (اگر  \(a > 0\) انتقال در جهت منفي محور و اگر \(a > 0\)  انتقال در جهت مثبت ميباشد (

توجه كنيد كه اگر \(({x_0},{y_0}) \in f\) يعني  \({y_0} = f({x_0})\)  انگاه:

\(h({x_0} - 0) = f({x_0} - a + a) = f({x_0}) = {y_0}\)

یا  \(({x_0} - a,{y_0})\) یعنی نقطه به اندازه a واحد به موازات محور x ها منتقل شده است

(3 )نمودار تابع \(k(x) = a = af(x)\) با كشيدن نمودار تابع  \(y = f(x)\) در امتداد محور y ها به دست ميآيد (اگر \(a > 1\) ، انبساط در امتداد محور y ها و با ضريب a رخ ميدهد و اگر 10, \(0 < a < 1\)  ، انقباض و در امتداد محور y ها و با ضريب a رخ ميدهد و اگر براي بدست آوردن نمودار تابع \(y = k(x)\) ابتدا قرينه نمودار f نسبت به محور x ها يعني نموار تابع  \(y = - f(x)\) را رسم ميكنيم سپس نمودار جديد را با ضريب -aمنبسط يا منقبض (بسته به اينكه \( - a > 1\)  یا \(0 < - a < 1\)  ميكنيم. .

توجه كنيد اگر \(({x_0},{y_0}) \in f\) یعنی \(({x_0} = f({x_0})\)   ان گاه \(k({x_0}) = a,f({x_0}) = a{y_0}\)  یعنی \(({x_0},a{y_0}) \in k\) كه مويد نكته گفته شده است

(4 ) نمودار تابع \(t(x) = f(ax)\)  \(a > 0\)با كشيدن نمودار تابع \(y = f(x)\)  در امتداد محور x ها به دست ميآيد. (اگر \(a > 1\)  نمودار f با ضريب \(\frac{1}{a}\) ، منقبض شده و اگر  \(0 < a < 1\) نمودار f با ضريب منبسط خواهد شد )

توجه كنيد كه اگر \(({x_0},{y_0}) \in f\)  يعني  \({y_0} = f({x_0})\) ان گاه \(t(\frac{{{x_0}}}{a}) = f(a \times \frac{{{x_0}}}{a}) = f\left( {{x_0}} \right) = y\) یعنی  \((\frac{{{x_0}}}{a},{y_0})\) كه نكات گفته شده را تاييد ميكند

( 5 ) براي رسم نمودار تابع  \(M(x) = f(ax)\) كه در آن \(a < 0\)  با توجه به آنكه نمودار تابع \(l(x) = f( - x)\)  قرينه نمودار تابع \(y = f(x)\) نسبت به محور y ها است براي رسم تابع \(a < 0\)  \(M(x) = f(ax)\) , ابتدا ميتوان نمودار تابع \(N(x) = f( - ax)\) را مانند آنچه در ((4 بيان شد، رسم نمود سپس نمودار تابع M كه \(M(x) = N( - x)\)  ميباشد را با رسم قرينه نمودار تابع N نسبت به محور y ها رسم كرد. 

توجه كنيد كه اگر  \(\left( {{x_0},{y_0}} \right) \in f\) یعنی \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\)  ان گاه

\(l( - {x_0}) = f( - ( - {x_0})) = f({x_0}) = {y_0}\)

يعني \(( - {x_0},{y_0}) \in l\) که قرینه نقطه \(({x_0},{y_0})\)  نسبت به محورy ها است

(6)براي رسم نمودار تابع  \(p(x) = af(bx + c) + d\) مراحل زير را انجام ميدهيم:

 الف) اگر  \(b > 0\) مطابق مرحله )4(نمودار f را با ضريب \(\frac{1}{b}\)در امتداد محور ط انقباض 1 يا انبساط ميدهيم و اگر \(b < 0\)

مطابق مرحله) 5) عمل ميكنيم)در اين حالت نمودار  \(f(x)\) حاصل ميشود (

 ب) با توجه به مرحله 2 نموار بدست آمده در مرحله قبل را به اندازه  \(\frac{c}{b}\)در راستاي محور x ها و در جهت مخالف علامت \(\frac{c}{b}\)انتقال دارد (در اين حالت نمودار تابع  \(y = f(bx + c)\) حاصل ميشود.

ج) با توجه به مرحل 3 نمودار به دست آمده در مرحله قبل را انبساط يا انقباض داد . (با ضريب \(\left| a \right|\)  در اين مرحله نمودار تابع\(y = af(bx + c)\)  بدست می آيد ).

 د) با توجه به مرحله 1 نمودار به دست آمده در مرحله قبل را به اندازه d واحد در جهت محور y ها انتقال ميدهيم (در اين مرحله نموار تابع \(y = (bx + c) + d\)  كه همان \(y = p(x)\)  است به دست مي آيد(

قابل ذكر است كه در اين مرحله اگر \(a = 1\) يا \(b = 1\) يا \(c = 0\) يا \(d = 0\) مرحله نظير داده شده قابل حذف است.

توجه كنيد كه اگر \(( - {x_0},{y_0}) \in f\)  یعنی \(y = f\left( {{x_0}} \right)\)  آنگاه:

\((\frac{{ - {x_0} - c}}{b}) = af(b(\frac{{ - {x_0} - c}}{b}) + c) + d = af({x_0}) + d = a{y_0} + d\)

لذا

\(yy = f(2x)\)

كه مويد مطالب فوق است.